资源描述
湖北省荆州市荆沙市区马山中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正项等差数列{an}的前n和为Sn,已知,则=( )
A. 35 B. 36 C. 45 D. 54
参考答案:
C
【分析】
由等差数列{an}通项公式得,求出,再利用等差数列前项和公式能求出.
【详解】正项等差数列{an}的前项和,
,
,
解得或(舍),
,故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式,属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质()与前 项和的关系.
2. 已知i是虚数单位,若=1﹣i,则z的共轭复数为( )
A.1﹣2i B.2﹣4i C.﹣2i D.1+2i
参考答案:
A
【考点】复数的基本概念.
【专题】数系的扩充和复数.
【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出.
【解答】解:∵ =1﹣i,
∴===1+2i.
∴=1﹣2i.
故选:A.
【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义,属于基础题.
3. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图,输入的d的值为33,则输出的i的值为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
参考答案:
C
,开始执行程序框图,,再执行一行, 退出循环,输出,故选C.
4. 复数的虚部是
A. B. C. D.
参考答案:
B
,所以虚部为1,选B.
5. 函数的部分图象大致为( )
参考答案:
C
6. 设集合A={x|y=log2(x﹣2)},B={x|x2﹣5x+4<0},则A∩B=( )
A.? B.(2,4) C.(﹣2,1) D.(4,+∞)
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】分别化简集合A,B,容易计算集合A∩B.
【解答】解:∵A={x|y=log2(x﹣2)}=(2,+∝),B={x|x2﹣5x+4<0}=(1,4),
∴A∩B=(2,4).
故选B.
7. 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有两个极值点x1,x2,若点P(x1,f(x1))为坐标原点,点Q(x2,f(x2))在圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1上运动时,则函数f(x)图象的切线斜率的最大值为( )
A.3+ B.2+ C.2+ D.3+
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】先求出c=0,d=0,得到x2=﹣>0,f(x2)=>0,判断出a<0,b>0,得到kmax=,根据二次函数的性质求出的最大值,从而求出k的最大值即可.
【解答】解:f′(x)=3ax2+2bx+c,若点P(x1,f(x1))为坐标原点,
则f′(0)=0,f(0)=0,故c=0,d=0,
∴f′(x)=3ax2+2bx=0,解得:x2=﹣,
∴f(x2)=,又Q(x2,f(x2))在圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1上,
∴x2=﹣>0,f(x2)=>0,∴a<0,b>0,
∴kmax=﹣=,
而表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率,
由,
得:(1+k2)x2﹣(6k+4)x+12=0,
得:△=0,解得:k=,
∴的最大值是2+,
∴kmax=3+,
故选:D.
8. 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有( )
A.11 B.12 C.20 D.21
参考答案:
D
【考点】计数原理的应用.
【专题】计算题;分类讨论;分析法;排列组合.
【分析】设5个开关依次为1、2、3、4、5,由电路知识分析可得电路接通,则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通,依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目,由分步计数原理,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,设5个开关依次为1、2、3、4、5,
若电路接通,则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通,
对于开关1、2,共有2×2=4种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的有4﹣1=3种情况,
对于开关3、4、5,共有2×2×2=8种情况,其中全部断开的有1种情况,则其至少有1个接通的8﹣1=7种情况,
则电路接通的情况有3×7=21种;
故选:D.
【点评】本题考查分步计数原理的应用,可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况,关键是分析出电路解题的条件.
9. 若直角坐标平面内A、B两点满足:①点A、B都在函数的图象上;②点A、B关于原点对称,则称点 (A,B)是函数的一个“姊妹点对”.点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知函数,则的“姊妹点”对”有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
C
根据题意可知,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称。
可作出函数的图象关于原点对称的图象,看它与函数
交点个数即可。如图所示:
当时,
观察图象可得:它们有个交点。
故答案选
10. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥,结合三视图的数据,求出几何体的体积.
【解答】解:由题意三视图可知,几何体是正四棱锥,底面边长为2的正方形,
一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为2,四棱锥的表面积为.
故选D.
【点评】本题是基础题,考查三视图复原几何体的表面积的求法,考查计算能力,空间想象能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知||=2,||=3,,的夹角为60°,则|2﹣|= .
参考答案:
【考点】向量的模.
【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值,由 ==求得结果.
【解答】解:∵已知,,、的夹角为60°,∴=2×3cos60°=3,
∴====,
故答案为.
12. 若某多面体的三视图如右图所示,则此多面体的体积为__▲ ,外接球的表面积为__▲ .
参考答案:
;.
13. 已知f(x)=logax(a>0,a≠1),且f﹣1(﹣1)=2,则f﹣1(x)= .
参考答案:
考点:对数函数图象与性质的综合应用.
专题:计算题;函数的性质及应用.
分析:由题意可得f(2)=loga2=﹣1;从而得到a=;再写反函数即可.
解答: 解:由题意,∵f﹣1(﹣1)=2,
∴f(2)=loga2=﹣1;
故a=;
故f﹣1(x)=;
故答案为:.
点评:本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用,属于基础题.
14. 数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:,,,,,,,,,,,,…,,…有如下运算和结论:①;②数列,,,,…是等比数列;③数列,,,,…的前n项和为;④若存在正整数,使,,则.其中正确的结论是_____.(将你认为正确的结论序号都填上)
参考答案:
①③④
【分析】
①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列,,,,…是,1,,2,…,,,即可得到等差数列,故②不正确.③利用等差数列的前项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算,即可判定④正确.
【详解】①前24项构成的数列是:,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,,,
所以,故①正确.
②数列,,,,…
是,1,,2,…,,,
由等差数列定义(常数)
所以数列,,,,…是等差数列,
故②不正确.
③因为数列,,,,…是等差数列,
所以由等差数列前项和公式可知:,
故③正确.
④由③知:,,,,
,,
是,1,,2,,.
因为,
所以存在,使,,且.
故④正确.
故答案为:①③④.
【点睛】本题主要考查探究数列的规律,同时考查了等差数列的性质和数列的证明,属于难题.
15. 实数满足,则的最大值为 .
参考答案:
4
画出不等式组表示的平面区域,如下图所示,三角形ABC为所求,目标函数化为
,当经过点B(1,2)时,最大值为4。
16. 已知为虚数单位,若(R),则____________.
参考答案:
3
略
17. 如图,与圆相切于,不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=,,,则圆的半径等于 .
参考答案:
7
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)设函数
(1)将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象,写出的解析式及值域;
(2)关于x的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
参考答案:
19. 已知函数且在R上单调递增,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是___________.
参考答案:
【分析】
由题意可知在两段上均为增函数,且在上的最小值大于或等于,作出和的图象,根据交点个数判断与3的大小关系,以及直线和抛物线相切的条件,列出不等式组解出.
【详解】是上的单调递增函数,
在,上单调递增,
可得,
且,即,
作出和的函数草图如图所示:
由图象可知在上有且只有一解,
可得,或,即有△,
即有或;
由,解得,即时,有且只有一解.
则的范围是,.
故答案为:,.
【点睛】本题考查分段函数的单调性,函数零点的个数判断,结合函数图象判断端点值的大小是关键,属于中档题.
20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,为平行四边形,且,,为的中点,,.
(Ⅰ)求证://;
(Ⅱ)求三棱锥的高.
参考答案:
(Ⅰ)证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形,∴点为的中点.
∵为的中点, ∴为的中位线,
∴. …… 2分
∵,
∴//. …… 4分
(Ⅱ)解:∵平面,,
则平面,故,
又, 且,
∴. …… 8分
取的中点,连接,则,
∴,且.…… 9分
设三棱锥的高为,由,
有,得. 12分
21. (本小题满分10分) 设函数.(Ⅰ)求证:当时,不等式lnf (x)>1成立.
(Ⅱ)关于x的不等式在R上恒成立,求实数a的最大值
参考答案:
(1) 证明:由
得函数的最小值为3,从而,所以成立. (5分)
(2) 由绝对值的性质得,
所以最小值为,从而,解得,因此的最大值为.
(10分)
22. 如图;.已知椭圆C: 的离心率为,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求的最小值,并求此时圆T的方程;
(Ⅲ)设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与轴交于点R,S,
O为坐标原点。求证:为定值.
参考答案:
解:(I)由题意知解之得;,由得b=1,
故椭圆C方程为;…………………3分
(II)点M与点N关于轴对称,
设 不妨 设.
由于点M在椭圆C上,,
由已知,
,
阶段;
由于故当时,取得最小值为-,
当时,故又点M在圆T上,代入圆的方程得,故圆T的方程为:;.…………………………………………
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索