湖北省荆州市荆沙市区马山中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析

湖北省荆州市荆沙市区马山中学2022-2023学年高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正项等差数列{an}的前n和为Sn，已知，则=（     ） A. 35 B. 36 C. 45 D. 54 参考答案： C 【分析】 由等差数列{an}通项公式得，求出，再利用等差数列前项和公式能求出. 【详解】正项等差数列{an}的前项和， ， ， 解得或（舍）， ，故选C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 2. 已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（　　） A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i 参考答案： A 【考点】复数的基本概念． 【专题】数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出． 【解答】解：∵ =1﹣i， ∴===1+2i． ∴=1﹣2i． 故选：A． 【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题． 3. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 参考答案： C ，开始执行程序框图，，再执行一行， 退出循环，输出，故选C. 4. 复数的虚部是     A. B. C. D. 参考答案： B ，所以虚部为1，选B. 5. 函数的部分图象大致为(    ) 参考答案： C 6. 设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∩B=（　　） A．? B．（2，4） C．（﹣2，1） D．（4，+∞） 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】分别化简集合A，B，容易计算集合A∩B． 【解答】解：∵A={x|y=log2（x﹣2）}=（2，+∝），B={x|x2﹣5x+4＜0}=（1，4）， ∴A∩B=（2，4）． 故选B． 7. 设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有两个极值点x1，x2，若点P（x1，f（x1））为坐标原点，点Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上运动时，则函数f（x）图象的切线斜率的最大值为（　　） A．3+ B．2+ C．2+ D．3+ 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】先求出c=0，d=0，得到x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，判断出a＜0，b＞0，得到kmax=，根据二次函数的性质求出的最大值，从而求出k的最大值即可． 【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若点P（x1，f（x1））为坐标原点， 则f′（0）=0，f（0）=0，故c=0，d=0， ∴f′（x）=3ax2+2bx=0，解得：x2=﹣， ∴f（x2）=，又Q（x2，f（x2））在圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上， ∴x2=﹣＞0，f（x2）=＞0，∴a＜0，b＞0， ∴kmax=﹣=， 而表示⊙C上的点Q与原点连线的斜率， 由， 得：（1+k2）x2﹣（6k+4）x+12=0， 得：△=0，解得：k=， ∴的最大值是2+， ∴kmax=3+， 故选：D． 8. 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有（　　） A．11 B．12 C．20 D．21 参考答案： D 【考点】计数原理的应用． 【专题】计算题；分类讨论；分析法；排列组合． 【分析】设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5， 若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通， 对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4﹣1=3种情况， 对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8﹣1=7种情况， 则电路接通的情况有3×7=21种； 故选：D． 【点评】本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 9. 若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数的图象上；②点A、B关于原点对称，则称点 (A，B)是函数的一个“姊妹点对”.点对(A，B)与(B，A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点”对”有（   ） A．0个         B．1个       C．2个       D．3个 参考答案： C 根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称。 可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数 交点个数即可。如图所示： 当时， 观察图象可得：它们有个交点。 故答案选   10. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积． 【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形， 一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，四棱锥的表面积为． 故选D． 【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的表面积的求法，考查计算能力，空间想象能力． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=　　． 参考答案： 【考点】向量的模． 【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由 ==求得结果． 【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3， ∴====， 故答案为． 12. 若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲  ，外接球的表面积为__▲  ． 参考答案： ；． 13. 已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），且f﹣1（﹣1）=2，则f﹣1（x）= ． 参考答案： 考点：对数函数图象与性质的综合应用． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由题意可得f（2）=loga2=﹣1；从而得到a=；再写反函数即可． 解答： 解：由题意，∵f﹣1（﹣1）=2， ∴f（2）=loga2=﹣1； 故a=； 故f﹣1（x）=； 故答案为：． 点评：本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题． 14. 数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前n项和为；④若存在正整数，使，，则.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上） 参考答案： ①③④ 【分析】 ①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列，，，，…是，1，，2，…，，，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算，即可判定④正确. 【详解】①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，， 所以，故①正确. ②数列，，，，… 是，1，，2，…，，， 由等差数列定义（常数） 所以数列，，，，…是等差数列， 故②不正确. ③因为数列，，，，…是等差数列， 所以由等差数列前项和公式可知：， 故③正确. ④由③知：，，，， ，， 是，1，，2，，. 因为， 所以存在，使，，且. 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题.   15. 实数满足，则的最大值为          . 参考答案： 4 画出不等式组表示的平面区域，如下图所示，三角形ABC为所求，目标函数化为 ，当经过点B（1,2）时，最大值为4。 16. 已知为虚数单位，若(R),则____________. 参考答案： 3 略 17. 如图，与圆相切于，不过圆心的割线与直径相交于点.已知∠=，，,则圆的半径等于    ． 参考答案： 7 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设函数    （1）将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，写出的解析式及值域；   （2）关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； 参考答案： 19. 已知函数且在R上单调递增，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___________． 参考答案： 【分析】 由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出． 【详解】是上的单调递增函数， 在，上单调递增， 可得， 且，即， 作出和的函数草图如图所示： 由图象可知在上有且只有一解， 可得，或，即有△， 即有或； 由，解得，即时，有且只有一解． 则的范围是，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题． 20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为平行四边形，且，，为的中点，，． （Ⅰ）求证：//； （Ⅱ）求三棱锥的高． 参考答案： （Ⅰ）证明：连接，设与相交于点，连接， ∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点． ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴．                  …… 2分 ∵， ∴//．             …… 4分 （Ⅱ）解：∵平面，， 则平面，故， 又, 且， ∴．        …… 8分 取的中点，连接，则， ∴，且.…… 9分 设三棱锥的高为，由， 有，得. 12分 21. （本小题满分10分） 设函数.（Ⅰ）求证：当时，不等式lnf (x)>1成立. （Ⅱ）关于x的不等式在R上恒成立，求实数a的最大值 参考答案： (1) 证明：由 得函数的最小值为3，从而，所以成立.   (5分) (2) 由绝对值的性质得， 所以最小值为，从而，解得，因此的最大值为.                                                                 (10分) 22. 如图；.已知椭圆C: 的离心率为，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:设圆T与椭圆C交于点M、N. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求的最小值，并求此时圆T的方程; （Ⅲ）设点P是椭圆C 上异于M,N的任意一点，且直线MP,NP分别与轴交于点R，S， O为坐标原点。求证：为定值.                                参考答案： 解：（I）由题意知解之得；，由得b=1， 故椭圆C方程为;…………………3分 （II）点M与点N关于轴对称， 设 不妨 设.     由于点M在椭圆C上，, 由已知,   ,     阶段;   由于故当时，取得最小值为-, 当时，故又点M在圆T上，代入圆的方程得,故圆T的方程为：；.…………………………………………