湖北省荆州市石首城南高级中学2023年高二数学文联考试题含解析

湖北省荆州市石首城南高级中学2023年高二数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（　　） A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图， 所以S底==10， S后=， S右==10， S左==6． 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6． 故选：B． 2. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（      ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 参考答案： C 利用正弦定理可得:，   ①   由余弦定理可得：，   ② 由，得，     ③ 由① ② ③得，，故选C. 3. 下列四个命题中，真命题的个数为（    ） （1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合； （2）两条直线可以确定一个平面； （3）若； （4）空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内。 A.1             B.2            C.3            D.4 参考答案： A 略 4. 以下命题正确的是                                                                          （　　）        A．两个平面可以只有一个交点        B．一条直线与一个平面最多有一个公共点 C．两个平面有一个公共点，它们必有一条交线        D．两个平面有三个公共点，它们一定重合 参考答案： C 5. 命题p：椭圆与有相同焦点，命题q：函数 的定义域是，则（　　） A．“p或q”为假   B．“p且q”为真   C．p真q假       D．p假q真 参考答案： D 略 6. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f ￠(x)可能为（　）   参考答案： D 略 7. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的(   　) A．充分非必要条件  B．充分必要条件     C．必要非充分条件  D．非充分非必要条件 参考答案： A 略 8. 抛物线的准线方程是（    ）                                                                            A．        B．         C．           D． 参考答案： B 略 9. 如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（　　） A．n≤2？ B．n≤3？ C．n≤4？ D．n≤5？ 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】计算题． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n的值到S并输出S． 【解答】解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环； 第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环； 第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环； 第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30． 故选C． 【点评】程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，一种是根据题意补全程序框图．程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟． 10. 的展开式中的项的系数是     (       ) A. 120 B. －120 C. 100 D. －100 参考答案： B 试题分析：系数,由的次项乘以,和的次项乘以的到,故含的是,选. 考点：二项式展开式的系数. 【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过抛物线于四点,从左至右分别记为A,B,C,D,则= ． 参考答案： 1 12. 若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是　   　． 参考答案： ﹣2 【考点】基本不等式． 【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵2a+2b=1， ∴=，即， ∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号， ∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】该题考查基本不等式在求函数最值中的运用，属基础题，熟记基本不等式的使用条件是解题关键． 　 13. 关于x的不等式对一切实数x都成立，则a的范围是       ； 参考答案： 14. 根据下面一组等式： 可得                        ． 参考答案： 略 15. 如右图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则点到平面的距离为__________． 参考答案： 3/4 略 16. 若“＞”是“＞7”的必要不充分条件，则实数的取值范围为__________. 参考答案： 17. 已知抛物线C：的焦点为F，点是C上一点，圆M与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程为__________． 参考答案： 【分析】 作,垂足为 ,由点在抛物线上，得，由拋物线的性质，可知,，结合可得，解方程组即可得结果. 【详解】 画出图形如图所示，作,垂足为 , 由题意得点在抛物线上， 则，① 由拋物线的性质，可知, 由抛物线的定义可得等于到抛物线准线的距离，即， ，， ,解得，② 由①②解得 (舍去）或， 故抛物线方程为，故答案为. 【点睛】本题主要考查抛物线的的方程与性质，考查了抛物线定义的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2与椭圆C交于A，B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）直线l：y=kx﹣2代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得k的方程，解方程可得直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义可得2a=6，2c=2， 解得a=3，c=， 所以b2=a2﹣c2=3， 所以椭圆C的方程为+=1．                 （Ⅱ）由 得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， 所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得． 设A（x1，y1），B（x2，y2） 则，， ， 所以，A，B中点坐标E（，）， 因为|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即kPE?kAB=﹣1， 所以?k=﹣1 解得k=±1， 经检验，符合题意， 所以直线l的方程为x﹣y﹣2=0或x+y+2=0． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和焦距的概念，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线垂直的条件，考查运算能力，属于中档题． 19. 已知椭圆的离心率，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）从定点任作直线与椭圆交于两个不同的点、，记线段的中点为，试求点的轨迹方程。 参考答案： （1）由已知得，则椭圆方程为； （2）设，. 若直线与轴垂直，则； 若直线与轴不垂直，设直线的方程为。 由………① 则，将其消去，得， 由①中解得， 则，； 综上，所求点的轨迹方程为。 略 20. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足． （1）当取何值时，直线与平面所成的角最大？ （2）若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置． 参考答案： （1）（2）点在的延长线上，且 试题分析：（1）以 分别为轴,建立关于轴,轴，建立空间直角坐标系,可得向量 的坐标关于 的表达式，而平面 的法向量 ，可建立  关于的式子，最后结合二次函数的性质可得当时，角达到最大值；（2）根据垂直向量的数量积等于 ，建立方程组并解之可得平面 的一个法向量为 ，而平面与平面所成的二面角等于向量 所成的锐角，由结合已知条件建立的方程并解，即可得到的值，从而确定点 的位置。 （1）以分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，， ∵，∴， 则，易得平面的一个法向量为， 则直线与平面所成的角满足：（*）， 于是问题转化为二次函数求最值， 而，当最大时，最大， 所以当时，，此时直线与平面所成的角得到最大值． （2）已知给出了平面与平面所成的锐二面角为， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，． 由，得，解得 令，得，于是 ∵平面与平面所成的锐二面角为， ∴ 解得，故点在的延长线上，且． 21. （本题9分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，； （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。证明：。 注：可用（Ⅰ）的结论。 参考答案： 解：（Ⅰ）。         1分 当时，，所以为增函数，又， 因此当时，。         3分 （Ⅱ）。         5分 又，，…，所以。         6分 由（Ⅰ）知，当时，， 因此。         7分 在此式中令，则即。         8分 所以。         9分 22. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N+），数列{bn}的前n项和Tn=2n﹣1（n∈N+）． （1）求数列{}的前n项和； （2）求数列{an?bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得an=2n+1．从而==，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和． （2）由已知得，从而an?bn=（2n+1）?2n﹣1，由此利用错位相减法能求出数列{an?bn}的前n项和． 【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N+）， ∴a1=S1=1+2=3， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1， n=1时，2n+1=3=a1， ∴an=2n+1． ∴==， ∴数列{}的前n项