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湖北省荆州市玉沙中学高二数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知点A,B是抛物线y2=4x上的两点,点M(3,2)是线段AB的中点,则|AB|的值为( )
A.4 B.4 C.8 D.8
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用中点坐标公式及作差法,求得直线AB的斜率公式,求得直线直线AB的方程,代入抛物线方程,利用弦长公式及韦达定理,即可求得|AB|的值.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y12=4x1,y22=4x2,由中点坐标公式可知:y1+y2=4,
两式相减可得,(y1﹣y2)(y1+y2)=4(x1﹣x2),
则直线AB的斜率k,k==1,
直线AB的方程为y﹣2=x﹣3即y=x﹣1,
联立方程可得,x2﹣6x+1=0,
丨AB丨=?,
=?=8,
故选:C.
2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=( )
A.9 B.10 C.12 D.13
参考答案:
D
【考点】分层抽样方法.
【专题】概率与统计.
【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3,求出丙车间生产产品所占的比例,从而求出n的值.
【解答】解:∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120,80,60,
∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6:4:3,
丙车间生产产品所占的比例,
因为样本中丙车间生产产品有3件,占总产品的,
所以样本容量n=3÷=13.
故选D.
【点评】本题主要考查了分层抽样方法,解题要分清具体问题中的总体、个体与样本,关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的,所不同的是范围的大小.
3. 已知函数上的奇函数,当时,
的大致图象为
参考答案:
B
4. 若函数f(x)满足对于任意实数a,b,c,都有f(a),f(b),f(c)为某三角形的三边长,则成f(x)为“可构造三角形函数”,已知f(x)=是“可构造三角形函数”,则实数t的取值范围是( )
A.[﹣1,0] B.(﹣∞,0] C.[﹣2,﹣1] D.[﹣2,﹣]
参考答案:
D
【考点】函数的值.
【分析】因对任意实数a、b、c,都存在以f(a)、f(b)、f(c)为三边长的三角形,则f(a)+f(b)>f(c)恒成立,将f(x)解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数的值域,然后讨论k转化为f(a)+f(b)的最小值与f(c)的最大值的不等式,进而求出实数k 的取值范围
【解答】解:f(x)==1﹣,
①当t+1=0即t=﹣1时,f(x)=1,
此时f(a),f(b),f(c)都为1,能构成一个正三角形的三边长,满足题意;
②当t+1>0即t>﹣1时,f(x)在R上单调递增,
﹣t<f(x)<1,∴﹣t<f(a),f(b),f(c)<1,
由f(a)+f(b)>f(c)得﹣2t≥1,
解得﹣1<t≤﹣;
③当t+1<0即t<﹣1时,f(x)在R上单调递减,
又1<f(x)<﹣t,由f(a)+f(b)>f(c)得2≥﹣t,
即t≥﹣2,所以﹣2≤t<﹣1.
综上,t的取值范围是﹣2.
故选:D.
5. 观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…的特点,问第100项为( )
A. 10 B. 14 C. 13 D. 100
参考答案:
B
试题分析:令第项为14.
考点:数列及其通项.
6. 展开式中不含项其它所有项的系数和为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
参考答案:
B
略
7. 某程序的框图如图所示,则运行该程序后输出的的值是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
8. 若为假命题,则
A. 命题与的真值不同
B. 命题与至少有一个假命题
C. 命题与都是假命题
D. 命题与都是真命题
参考答案:
D
略
9. 函数的值域是( )
A.[-1,1] B. (-1,1] C. [-1,1) D. (-1,1)
参考答案:
B
【分析】
由可得,当时,由 ,解得,从而得到答案。
【详解】因为,所以,
整理得
当时,上式不成立,故
当时, ,解得
故选B.
【点睛】本题考查求函数的值域,属于一般题。
10. 当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知A、B、C三点在曲线上,其横坐标依次为1,m,4(1<m<4),当△ABC的面积最大时,m等于 .
参考答案:
考点: 点到直线的距离公式.
专题: 计算题.
分析: 求出A、B、C三点的坐标,求出AC的方程,利用点到直线的距离公式求出三角形的高,推出面积的表达式,然后求解面积的最大值时的m值.
解答: 解:由题意知,
直线AC所在方程为x﹣3y+2=0,
点B到该直线的距离为,
.
∵m∈(1,4),
∴当时,S△ABC有最大值,此时.
故答案为:.
点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,三角形的面积的最值的求法,考查计算能力.
12. 如图,在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中,,,,则AC'= .
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】2=( ++)2,由此利用向量能求出AC′的长.
【解答】解:∵在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中,
AB=3,AD=4,AA′=4,∠BAD=90°,
∠BAA′=∠DAA′=60°,
=(++)2
=9+16+16+2×3×4×cos60°+2×4×4×cos60°
=69,
∴AC′的长是.
故答案为:.
13. 已知都是正实数, 函数的图象过点,则
的最小值是 .
参考答案:
略
14. 若,则 .
参考答案:
6
由题得,
所以故填6.
15. 对于集合,定义,设,则
参考答案:
略
16. 如图所示,某城市有南北街道和东西街道各条,一邮递员从该城市西北角的邮局出发,送信到东南角地,要求所走路程最短则该邮递员途径C地的概率
参考答案:
17. 已知是定义在上的奇函数,且.当时,,则________.
参考答案:
-3
f(7)=f(3+4)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
函数的最小值为,其图象上相邻的最高点和最低点的横坐标的差是,又图象过点,求这个函数的解析式.
参考答案:
由题意,
,
又过点
,
19. 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(m>0)的离心率为,A,B分别为椭圆的左、右顶点,F是其右焦点,P是椭圆C上异于A、B的动点.
(1)求m的值及椭圆的准线方程;
(2)设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.
参考答案:
解:(1)因为椭圆的离心率为.所以,解得.
所以椭圆的方程为 ……3分
准线方程为 ……5分
(2)由题可知,设.由椭圆的对称性,不妨设
①若,则,方程为,
AP方程为,
以BD为直径的圆的圆心(5,1),半径为1与直线PF相切; ……8分
②若,则AP方程为
令,得,则
以BD为直径的圆的圆心,半径为 ……11分
直线PF方程为,即
圆心M到直线PF的距离 ……13分
==
所以圆M与直线PF相切 ……15分
综上所述,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.
…………16分
20. 已知函数f(x)=ex和函数g(x)=kx+m(k、m为实数,e为自然对数的底数,e≈2.71828).
(1)求函数h(x)=f(x)﹣g(x)的单调区间;
(2)当k=2,m=1时,判断方程f(x)=g(x)的实数根的个数并证明;
(3)已知m≠1,不等式(m﹣1)[f(x)﹣g(x)]≤0对任意实数x恒成立,求km的最大值.
参考答案:
(1)求出h′(x)=ex﹣k,(x∈R),分以下两种情况讨论:①当k≤0,②当k>0,
(2)当k=2,m=1时,方程f(x)=g(x)即为h(x)=ex﹣2x﹣1=0,结合(1)及图象即可判定.
(3)设h(x)=f(x)﹣g(x),分①当m>1,②当m<1,分别求解
解:(1)h′(x)=ex﹣k,(x∈R),
①当k≤0时,h′(x)>0恒成立,h(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),无单调递减区间;
②当k>0时,由h′(x)>0得x>lnk,由h′(x)<0得x<lnk,
故h(x)的单调递减区间为(﹣∞,lnk),单调递增区间为(lnk,+∞).
(2)当k=2,m=1时,方程f(x)=g(x)即为h(x)=ex﹣2x﹣1=0,
由(1)知h(x)在(﹣∞,ln2)上递减,而h(0)=0,故h(x)在(﹣∞,ln2)上有且仅有1个零点,
由(1)知h(x)在[ln2,+∞)上递增,而h(1)=e﹣3<0,h(2)=e2﹣5>0,且h(x)的图象在[1,2]上是连续不间断的,
故h(x)在[1,2]上有且仅有1个零点,所以h(x)在[ln2,+∞)上也有且仅有1个零点,
综上,方程f(x)=g(x)有且仅有两个实数根.
(3)设h(x)=f(x)﹣g(x),
①当m>1时,f(x)﹣g(x)≤0恒成立,则h(x)≤0恒成立,
而h(﹣)=e>0,与h(x)≤0恒成立矛盾,故m>1不合题意;
②当m<1时,f(x)﹣g(x)≥0,恒成立,则h(x)≥0恒成立,
1°当k=0时,由h(x)=ex﹣m≥0恒成立可得m∈(﹣∞,0],km=0;
2°当k<0时,h()=e﹣1,而,故e<1,
故h()<0,与h(x)≥0恒成立矛盾,故k<0不合题意;
3°当k>0时,由(1)可知[h(x)]min=h(lnk)=k﹣klnk﹣m,而h(x)≥0恒成立,
故k﹣klnk﹣m≥0,得m≤k﹣klnk,故km≤k(k﹣klnk),
记φ(k)=k(k﹣klnk),(k>0),
则φ′(k)=k(1﹣2lnk),由φ′(k)>0得0,由φ′(k)<0得k>,
故φ(k)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,
∴φ(k)max=φ()=,∴km≤,当且仅当k=,m=时取等号;
综上①②两种情况得km的最大值为.
21. ( 12分) 求曲线与直线围成的封闭图形的面积。
参考答案:
22. 袋中有大小相同的红球和白球各1个,每次任取1个,有放回地摸三次.
(Ⅰ)写出所有基本事件;
(Ⅱ)求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率;
(Ⅲ)求三次摸到的球至少有1个白球的概率.
参考答案:
3.(I)(红,红,红),(红,红,白),(红,白,白),(白,红,红),(白,红,白),(红,白,红),(白,白,红),(白,白,白);(Ⅱ);(Ⅲ).
试题解析:
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