湖北省荆州市玉沙中学高二数学文下学期期末试题含解析

湖北省荆州市玉沙中学高二数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点A，B是抛物线y2=4x上的两点，点M（3，2）是线段AB的中点，则|AB|的值为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得|AB|的值． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y12=4x1，y22=4x2，由中点坐标公式可知：y1+y2=4， 两式相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2）， 则直线AB的斜率k，k==1， 直线AB的方程为y﹣2=x﹣3即y=x﹣1， 联立方程可得，x2﹣6x+1=0， 丨AB丨=?， =?=8， 故选：C． 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（　　） A．9 B．10 C．12 D．13 参考答案： D 【考点】分层抽样方法． 【专题】概率与统计． 【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值． 【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60， ∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3， 丙车间生产产品所占的比例， 因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的， 所以样本容量n=3÷=13． 故选D． 【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 3. 已知函数上的奇函数，当时， 的大致图象为 参考答案： B 4. 若函数f（x）满足对于任意实数a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）为某三角形的三边长，则成f（x）为“可构造三角形函数”，已知f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（　　） A．[﹣1，0] B．（﹣∞，0] C．[﹣2，﹣1] D．[﹣2，﹣] 参考答案： D 【考点】函数的值． 【分析】因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围 【解答】解：f（x）==1﹣， ①当t+1=0即t=﹣1时，f（x）=1， 此时f（a），f（b），f（c）都为1，能构成一个正三角形的三边长，满足题意； ②当t+1＞0即t＞﹣1时，f（x）在R上单调递增， ﹣t＜f（x）＜1，∴﹣t＜f（a），f（b），f（c）＜1， 由f（a）+f（b）＞f（c）得﹣2t≥1， 解得﹣1＜t≤﹣； ③当t+1＜0即t＜﹣1时，f（x）在R上单调递减， 又1＜f（x）＜﹣t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥﹣t， 即t≥﹣2，所以﹣2≤t＜﹣1． 综上，t的取值范围是﹣2． 故选：D． 5. 观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4…的特点，问第100项为（   ） A. 10 B. 14 C. 13 D. 100 参考答案： B 试题分析：令第项为14. 考点：数列及其通项. 6. 展开式中不含项其它所有项的系数和为（     ） A.-1            B.0             C.1                D.2 参考答案： B 略 7. 某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是（      ） A． B． C． D． 参考答案： A 8. 若为假命题，则 A. 命题与的真值不同                 B. 命题与至少有一个假命题 C. 命题与都是假命题 D. 命题与都是真命题 参考答案： D 略 9. 函数的值域是(   ) A.[－1,1] B. (－1,1] C. [－1,1) D. (－1,1) 参考答案： B 【分析】 由可得，当时，由 ，解得，从而得到答案。 【详解】因为，所以， 整理得 当时，上式不成立，故 当时， ，解得 故选B. 【点睛】本题考查求函数的值域，属于一般题。 10. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于 ． 参考答案： 考点： 点到直线的距离公式． 专题： 计算题． 分析： 求出A、B、C三点的坐标，求出AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，推出面积的表达式，然后求解面积的最大值时的m值． 解答： 解：由题意知， 直线AC所在方程为x﹣3y+2=0， 点B到该直线的距离为， ． ∵m∈（1，4）， ∴当时，S△ABC有最大值，此时． 故答案为：． 点评： 本题考查点到直线的距离公式的应用，三角形的面积的最值的求法，考查计算能力． 12. 如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D'中，，，，则AC'=　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】2=（ ++）2，由此利用向量能求出AC′的长． 【解答】解：∵在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中， AB=3，AD=4，AA′=4，∠BAD=90°， ∠BAA′=∠DAA′=60°， =（++）2 =9+16+16+2×3×4×cos60°+2×4×4×cos60° =69， ∴AC′的长是． 故答案为：． 13. 已知都是正实数， 函数的图象过点，则 的最小值是       . 参考答案： 略 14. 若，则          ． 参考答案： 6 由题得， 所以故填6.   15. 对于集合,定义，设，则       参考答案： 略 16. 如图所示，某城市有南北街道和东西街道各条，一邮递员从该城市西北角的邮局出发，送信到东南角地，要求所走路程最短则该邮递员途径C地的概率            参考答案： 17. 已知是定义在上的奇函数，且．当时，，则________． 参考答案： －3 f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－f(1)＝－3. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 函数的最小值为，其图象上相邻的最高点和最低点的横坐标的差是,又图象过点，求这个函数的解析式． 参考答案： 由题意， ， 又过点 ， 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（m＞0）的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点． （1）求m的值及椭圆的准线方程； （2）设过点B且与x轴的垂直的直线交AP于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．   参考答案： 解：（1）因为椭圆的离心率为．所以，解得． 所以椭圆的方程为 ……3分 准线方程为 ……5分 （2）由题可知，设．由椭圆的对称性，不妨设 ①若，则，方程为， AP方程为， 以BD为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF相切； ……8分 ②若，则AP方程为 令，得，则 以BD为直径的圆的圆心，半径为　　　……11分 直线PF方程为，即 圆心M到直线PF的距离　　……13分 ＝＝ 所以圆M与直线PF相切 ……15分 综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切． …………16分   20. 已知函数f（x）=ex和函数g（x）=kx+m（k、m为实数，e为自然对数的底数，e≈2.71828）． （1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间； （2）当k=2，m=1时，判断方程f（x）=g（x）的实数根的个数并证明； （3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0对任意实数x恒成立，求km的最大值． 参考答案： （1）求出h′（x）=ex﹣k，（x∈R），分以下两种情况讨论：①当k≤0，②当k＞0， （2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，结合（1）及图象即可判定． （3）设h（x）=f（x）﹣g（x），分①当m＞1，②当m＜1，分别求解 解：（1）h′（x）=ex﹣k，（x∈R）， ①当k≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间； ②当k＞0时，由h′（x）＞0得x＞lnk，由h′（x）＜0得x＜lnk， 故h（x）的单调递减区间为（﹣∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）． （2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0， 由（1）知h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，而h（0）=0，故h（x）在（﹣∞，ln2）上有且仅有1个零点， 由（1）知h（x）在[ln2，+∞）上递增，而h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣5＞0，且h（x）的图象在[1，2]上是连续不间断的， 故h（x）在[1，2]上有且仅有1个零点，所以h（x）在[ln2，+∞）上也有且仅有1个零点， 综上，方程f（x）=g（x）有且仅有两个实数根． （3）设h（x）=f（x）﹣g（x）， ①当m＞1时，f（x）﹣g（x）≤0恒成立，则h（x）≤0恒成立， 而h（﹣）=e＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾，故m＞1不合题意； ②当m＜1时，f（x）﹣g（x）≥0，恒成立，则h（x）≥0恒成立， 1°当k=0时，由h（x）=ex﹣m≥0恒成立可得m∈（﹣∞，0]，km=0； 2°当k＜0时，h（）=e﹣1，而，故e＜1， 故h（）＜0，与h（x）≥0恒成立矛盾，故k＜0不合题意； 3°当k＞0时，由（1）可知[h（x）]min=h（lnk）=k﹣klnk﹣m，而h（x）≥0恒成立， 故k﹣klnk﹣m≥0，得m≤k﹣klnk，故km≤k（k﹣klnk）， 记φ（k）=k（k﹣klnk），（k＞0）， 则φ′（k）=k（1﹣2lnk），由φ′（k）＞0得0，由φ′（k）＜0得k＞， 故φ（k）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减， ∴φ（k）max=φ（）=，∴km≤，当且仅当k=，m=时取等号； 综上①②两种情况得km的最大值为． 21. ( 12分) 求曲线与直线围成的封闭图形的面积。  参考答案： 22. 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次． （Ⅰ）写出所有基本事件； （Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率． 参考答案： 3．（I）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）；（Ⅱ）；（Ⅲ）． 试题解析：