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湖北省荆州市监利县第一中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列中,已知,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
试题分析:.
考点:等差数列性质;等差数列前项和公式.
2. 记定点M 与抛物线上的点P之间的距离为d1,P到抛物线的准线 距离为d2,则当d1+d2取最小值时,P点坐标为( )
A.(0,0) B. C.(2,2) D.
参考答案:
C
3. 在等比数列中, 则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. (5分)(2005?福建)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有( )
A.300种B.240种C.144种D.96种
参考答案:
B
【分析】根据题意,使用间接法,首先计算从6人中选4人分别到四个城市游览的情况数目,再分析计算其包含的甲、乙两人去巴黎游览的情况数目,进而由事件间的关系,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,由排列公式可得,首先从6人中选4人分别到四个城市游览,有A64=360种不同的情况,
其中包含甲到巴黎游览的有A53=60种,乙到巴黎游览的有A53=60种,
故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有360﹣60﹣60=240种;
故选B.
【点评】本题考查排列的应用,注意间接法比直接分析更为简便,要使用间接法.
5. 函数y=的导数为( )
A. y′= B. y′=
C. y′= D. y′=
参考答案:
D
略
6. 已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为( )
A. B. C. D.1
参考答案:
C
【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】先设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长a2,焦距2c.因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题,所以需要找a1,a2,c之间的关系,而根据椭圆及双曲线的定义可以用a1,a2表示出|PF1|,|PF2|,在△F1PF2中根据余弦定理可得到,利用基本不等式可得结论.
【解答】解:如图,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义:
|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|﹣|PF2|=2a2,
∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1﹣a2,
设|F1F2|=2c,∠F1PF2=,则:
在△PF1F2中由余弦定理得,
4c2=(a1+a2)2+(a1﹣a2)2﹣2(a1+a2)(a1﹣a2)cos
∴化简得:a12+3a22=4c2
,又因为,∴e1e2≥,
故选:C
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长,解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形,求出焦点三角形的边长来,属于难题.
7. 函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
8. 已知等差数列{an}中,有+1<0,且该数列的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0成立的n的最大值为( )
A.11 B.19 C.20 D.21
参考答案:
B
【考点】等差数列的前n项和;数列的函数特性.
【分析】由题意可得<0,公差d<0,进而可得S19>0,S20<0,可得答案.
【解答】解:由+1<0可得<0
又∵数列的前n项和Sn有最大值,
∴可得数列的公差d<0,
∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,
∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.
∴S19>0,S20<0
∴使得Sn>0的n的最大值n=19,
故选B
9. 过点P(-3,0)且倾斜角为30°直线和曲线相交于A、B两点.则线段AB的长为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 已知复数=( )
A. 2 B. -2 C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5= .
参考答案:
122
【考点】二项式定理的应用.
【分析】分别令x=1 x=﹣1,得到两个式子,再把这两个式子相减并除以2,可得a1+a3+a5 的值.
【解答】解:∵(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x+a5x5,令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=35①,
令x=﹣1,可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5 =﹣1 ②,
把①﹣②并除以2,可得 a1+a3+a5==122,
故答案为:122.
12. 观察下列各式:①,②,③,……,根据以上事实,由归纳推理可得:若定义在上的偶函数的导函数为,则= .
参考答案:
0
13. 抛物线y=4x2的准线方程为 .
参考答案:
考点:抛物线的简单性质.
专题:计算题.
分析:先把抛物线方程整理成标准方程,进而求得p,再根据抛物线性质得出准线方程.
解答:解:整理抛物线方程得x2=y,∴p=
∵抛物线方程开口向上,
∴准线方程是y=﹣
故答案为:.
点评:本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质.属基础题.
14. 在区间(0,4)内任取一个实数x,则使不等式x2﹣2x﹣3<0成立的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【专题】概率与统计.
【分析】先利用不等式求出满足不等式成立的x的取值范围,然后利用几何概型的概率公式求解.
【解答】解:由题意知0<x<4.
由x2﹣2x﹣3<0,解得﹣1<x<3,
所以由几何概型的概率公式可得使不等式x2﹣2x﹣3<0成立的概率
为=,.
故答案为:.
【点评】本题主要考查几何概型,要求熟练掌握几何概型的概率求法.
15. 若点(1,1)到直线的距离为,则的最大值是 .
参考答案:
16. 若z= 4+3i,则____________.
参考答案:
.
试题分析:由题意得,.
考点:复数模的计算.
17. 的递推关系式是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,sin(C﹣A)=1,sinB=.
(I)求sinA的值;
(II)设b=,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(I)由已知可求C﹣A=,结合三角形内角和定理可求A=﹣,利用两角差的正弦函数公式即可化简求值.
(Ⅱ)由正弦定理可求BC=的值,利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:(I)由sin(C﹣A)=1,可得:C﹣A=,且C+A=π﹣B,
∴A=﹣,
∴sinA=sin(﹣)=(cos﹣sin),
∴sin2A=(1﹣sinB)=,又sinA>0,
∴sinA=.
(Ⅱ)由正弦定理得,可得:BC===3,
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==,
∴S△ABC=AC?BC?sinC==3.
19. (本小题满分12分)已知函数
(1)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数在区间上的值域
参考答案:
(1)
………4分
对称轴方程为…………7分
(2)
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以 当时,取最大值 1 ………9分
又 ,当时,取最小值 ………11分
所以 函数 在区间上的值域为…………12分
20. (10分)(2015秋?呼伦贝尔校级月考)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列.求这三个正数.
参考答案:
考点: 等差数列的通项公式;等比数列的通项公式.
专题: 等差数列与等比数列.
分析: 设成等差数列的三个正数分别为a﹣d,a,a+d,可得a﹣d+a+a+d=15,求出a后得到等比数列的三个数,由等比数列的性质列式求d,则答案可求.
解答: 解:设成等差数列的三个正数分别为a﹣d,a,a+d,
依题意,得a﹣d+a+a+d=15,解得a=5.
∴{bn}中的三个数依次为7﹣d,10,18+d.
依题意,有(7﹣d)(18+d)=100,解得d=2或d=﹣13(舍去).
∴三个正数为3,5,7.
点评: 本题考查等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础题.
21. .如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC中,侧面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60
(Ⅰ)求侧棱AA与平面ABC所成角的正弦值的大小;
(Ⅱ)已知点D满足,在直线AA上是否存在点P,使DP∥平面ABC?若存在,请确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)∵侧面A1ACC1⊥底面ABC,作A1O⊥AC于点O,
∴A1O⊥平面ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱长都相等,
∴AO=1,OA1=OB=,BO⊥AC.
故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则
A(0,-1,0),B(,0,0),A1(0,0,),C(0,1,0),;
∴.设平面AB1C的法向量为n=(x,y,1)
则 解得n=(-1,0,1).
由cos<>=
而侧棱AA1与平面AB1C所成角,即是向量与平面AB1C的法向量所成锐角的余角,
∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为
(Ⅱ)∵而 ∴
又∵B(,0,0),∴点D的坐标为D(-,0,0).假设存在点P符合题意,
则点P的坐标可设为P(0,y,z). ∴
∵DP∥平面AB1C,n=(-1,0,1)为平面AB1C的法向量,
∴由,得
又DP平面AB1C,故存在点P,使DP∥平面AB1C,其从标为(0,0,),即恰好为A1点
22. (本小题满分14分)
已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合,左端点为
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆截的弦长。
参考答案:
略
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