湖北省荆州市高桥中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析

湖北省荆州市高桥中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 无穷等比数列中，，则首项的取值范围是    (     ) .    A．    B．    C．  D． 参考答案： B 略 2. 在中，且，则BC=(    ) A．         B．3        C．         D．7 参考答案： A 略 3. 等差数列中，，，则的前9项的和S9=(   ) A．66            B．99            C．144             D．297 参考答案： B 4. △ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为(    ) A．(y≠0)         B. (y≠0) C. (y≠0)        D. (y≠0) 参考答案： A 略 5. （5分）函数f（x）=sin（2x+），则f′（）的值为（　　） 　 A． 1 B． ﹣2 C． 2 D． ﹣1 参考答案： B 6. 已知则在复平面内，Z对应的点位于（    ）   A．第一象限                             B.第二象限   C．第三象限                             D.第四象限 参考答案： C 略 7. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（  ） A．     B．   C．      D． 参考答案： D 8. 给出以下命题: ⑴.若,则f(x)> 0； ⑵.; ⑶.f(x)的原函数为F(x),,且F(x)是以T为周期的函数,则； 其中正确命题的个数为(   ) (A).1         (B).2     (C).3       (D).0 参考答案： B 9. 平面内有定点A、B及动点P，设命题甲“|PA|+|PB|是定值”，命题乙 “点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆”，那么 A.甲是乙的充分不必要条件          B.甲是乙的必要不充分条件   C.甲是乙的充分且必要条件          D.甲既不是乙的充分也不是必要条件 参考答案： B 略 10. 函数的定义域为（　　） A．（﹣1，0）∪（0，2] B．[﹣2，0）∪（0，2] C．[﹣2，2] D．（﹣1，2] 参考答案： A 【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答】解：由题意得： 解得：﹣1＜x≤2且x≠0， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若对区间D上的任意都有成立，则称为到在区间D上的“任性函数”，已知 ，若是到在上的“任性函数”，则的取值范围是 ． 参考答案： 12. 曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为____________. 参考答案： 13. 已知关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（3，+∞），则关于x的不等式的解集是　　． 参考答案： [﹣3，2） 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】计算题；方程思想；转化法；不等式的解法及应用． 【分析】由题意可得a＜0，且=3，关于x的不等式，转化为≤0，解得即可． 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＜0，即 ax＜b的解集是（3，+∞）， ∴a＜0，且=3． ∴关于x的不等式，即≤0，即≤0，即 （x+3）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0， 求得﹣3≤x＜2， 故答案为：[﹣3，2）． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 14. 已知函数，则的值域是               参考答案： 略 15. 如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转到OD，则PD的长为             参考答案： 略 16. 曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为　　． 参考答案： 【考点】定积分在求面积中的应用． 【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可． 【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0 直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx 而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣= ∴曲边梯形的面积是 故答案为：． 17. 函数的最小值为                    . 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且曲线过点(1，) （1）求椭圆C的方程； （2）已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2+y2=内，求m的取值范围． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）根据离心率为，a2=b2+c2得到关于a和b的一个方程，曲线过点，把点代入方程即可求得椭圆C的方程； （2）直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点，联立直线和椭圆的方程，消元，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得AB的中点坐标，再根据该点不在圆内，得到该点到圆心的距离≥半径，求得m的取值范围． 【解答】解：（1）∵，∴，∴a2=2b2① 曲线过，则② 由①②解得，则椭圆方程为． （2）联立方程，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0 则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得③ ，， 即AB的中点为 又∵AB的中点不在内， ∴ 解得，m≤﹣1或m≥1④ 由③④得：＜m≤﹣1或1≤m＜． 【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力，直线与圆锥曲线相交问题，易忽视△＞0，属中档题． 19. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0． （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2α=2ρcosα，由此能求出曲线C的直角坐标方程． （2）把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|=，由此能求出当时，|AB|取最小值2． 【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0， ∴ρ2sin2α=2ρcosα， ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x． （2）直线l的参数方程，（t为参数，0＜θ＜π）， 把直线的参数方程化入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0， 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2， 则，t1?t2=﹣， |AB|=|t1﹣t2|= ==， ∴当时，|AB|取最小值2． 20. （本小题满分12分） 已知函数f(x)＝(a－3b＋9)ln(x＋3)＋x2＋(b－3)x. (1)当a>0且a≠1，f′(1)＝0时，试用含a的式子表示b，并讨论f(x)的单调区间； (2)若f′(x)有零点，f′(3)≤，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f′(x)≥0.求f(x)的表达式. 参考答案： 略 21. 试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数。 参考答案： （1）用辗转相除法求840与1764的最大公约数。         1764=8402+84，840=8410+0， 所以840与1764的最大公约数就是84。    (2）用更相减损术求440与556的最大公约数。         556-440=116，440-116=324，324-116=208，208-116=92，116-92=24，92-24=68，         68-24=44，44-24=20，24-20=4，20-4=16，16-4=12，12-4=8，8-4=4。         440与556的最大公约数是4。 22. 在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足， =动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程及其离心率； （2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由=得x0=x，y0=y，即可得到椭圆的方程及其离心率； （2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由=得x0=x，y0=y ….. 因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即=1， 其离心率e=．….. （Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=． ②当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知，得． 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0， ∴x1+x2=，x1x2= ∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+≤4， 当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2． 当k=0时，|AB|=． 综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB面积取最大值=