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湖北省荆州市高桥中学2022-2023学年高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 无穷等比数列中,,则首项的取值范围是 ( ) .
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 在中,且,则BC=( )
A. B.3 C. D.7
参考答案:
A
略
3. 等差数列中,,,则的前9项的和S9=( )
A.66 B.99 C.144 D.297
参考答案:
B
4. △ABC的两个顶点为A(-4,0),B(4,0),△ABC周长为18,则C点轨迹为( )
A.(y≠0) B. (y≠0)
C. (y≠0) D. (y≠0)
参考答案:
A
略
5. (5分)函数f(x)=sin(2x+),则f′()的值为( )
A. 1 B. ﹣2 C. 2 D. ﹣1
参考答案:
B
6. 已知则在复平面内,Z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
略
7. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为,它的长轴长等于圆的半径,则椭圆的标准方程是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 给出以下命题:
⑴.若,则f(x)> 0;
⑵.;
⑶.f(x)的原函数为F(x),,且F(x)是以T为周期的函数,则;
其中正确命题的个数为( )
(A).1 (B).2 (C).3 (D).0
参考答案:
B
9. 平面内有定点A、B及动点P,设命题甲“|PA|+|PB|是定值”,命题乙 “点P的轨迹为以A、B为焦点的椭圆”,那么
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充分且必要条件 D.甲既不是乙的充分也不是必要条件
参考答案:
B
略
10. 函数的定义域为( )
A.(﹣1,0)∪(0,2] B.[﹣2,0)∪(0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣1,2]
参考答案:
A
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可.
【解答】解:由题意得:
解得:﹣1<x≤2且x≠0,
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若对区间D上的任意都有成立,则称为到在区间D上的“任性函数”,已知 ,若是到在上的“任性函数”,则的取值范围是 .
参考答案:
12. 曲线在点处的切线的斜率是_________,切线的方程为____________.
参考答案:
13. 已知关于x的不等式ax﹣b<0的解集是(3,+∞),则关于x的不等式的解集是 .
参考答案:
[﹣3,2)
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】计算题;方程思想;转化法;不等式的解法及应用.
【分析】由题意可得a<0,且=3,关于x的不等式,转化为≤0,解得即可.
【解答】解:∵关于x的不等式ax﹣b<0,即 ax<b的解集是(3,+∞),
∴a<0,且=3.
∴关于x的不等式,即≤0,即≤0,即 (x+3)(x﹣2)≤0,且x﹣2≠0,
求得﹣3≤x<2,
故答案为:[﹣3,2).
【点评】本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题.
14. 已知函数,则的值域是
参考答案:
略
15. 如图,PA切圆O于点A,割线PBC经过圆心O,OB=PB=1,OA绕点O逆时针旋转到OD,则PD的长为
参考答案:
略
16. 曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为 .
参考答案:
【考点】定积分在求面积中的应用.
【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为1,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.
【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为1,积分下限为0
直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01(x﹣x2)dx
而∫01(x﹣x2)dx=(﹣)|01=﹣=
∴曲边梯形的面积是
故答案为:.
17. 函数的最小值为 .
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且曲线过点(1,)
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点不在圆x2+y2=内,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(1)根据离心率为,a2=b2+c2得到关于a和b的一个方程,曲线过点,把点代入方程即可求得椭圆C的方程;
(2)直线x﹣y+m=0与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点,联立直线和椭圆的方程,消元,得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理求得AB的中点坐标,再根据该点不在圆内,得到该点到圆心的距离≥半径,求得m的取值范围.
【解答】解:(1)∵,∴,∴a2=2b2①
曲线过,则②
由①②解得,则椭圆方程为.
(2)联立方程,消去y整理得:3x2+4mx+2m2﹣2=0
则△=16m2﹣12(2m2﹣2)=8(﹣m2+3)>0,解得③
,,
即AB的中点为
又∵AB的中点不在内,
∴
解得,m≤﹣1或m≥1④
由③④得:<m≤﹣1或1≤m<.
【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识,考查数形结合的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力,直线与圆锥曲线相交问题,易忽视△>0,属中档题.
19. 以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为,(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.
参考答案:
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程转化为ρ2sin2α=2ρcosα,由此能求出曲线C的直角坐标方程.
(2)把直线的参数方程化入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则|AB|=|t1﹣t2|=,由此能求出当时,|AB|取最小值2.
【解答】解:(1)∵曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0,
∴ρ2sin2α=2ρcosα,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x.
(2)直线l的参数方程,(t为参数,0<θ<π),
把直线的参数方程化入y2=2x,得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0,
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,
则,t1?t2=﹣,
|AB|=|t1﹣t2|=
==,
∴当时,|AB|取最小值2.
20. (本小题满分12分)
已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+x2+(b-3)x.
(1)当a>0且a≠1,f′(1)=0时,试用含a的式子表示b,并讨论f(x)的单调区间;
(2)若f′(x)有零点,f′(3)≤,且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f′(x)≥0.求f(x)的表达式.
参考答案:
略
21. 试分别用辗转相除法和更相减损术求840与1764、440与556的最大公约数。
参考答案:
(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数。
1764=8402+84,840=8410+0,
所以840与1764的最大公约数就是84。
(2)用更相减损术求440与556的最大公约数。
556-440=116,440-116=324,324-116=208,208-116=92,116-92=24,92-24=68,
68-24=44,44-24=20,24-20=4,20-4=16,16-4=12,12-4=8,8-4=4。
440与556的最大公约数是4。
22. 在圆x2+y2=3上任取一动点P,过P作x轴的垂线PD,D为垂足, =动点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程及其离心率;
(2)若直线l交曲线C交于A,B两点,且坐标原点到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)由=得x0=x,y0=y,即可得到椭圆的方程及其离心率;
(2)由于已知坐标原点O到直线l的距离为,故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题,由弦长公式将其表示出来,再判断最值即可得到线段AB的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)设M(x,y),P(x0,y0),由=得x0=x,y0=y …..
因为x02+y02=3,所以x2+3y2=3,即=1,
其离心率e=.…..
(Ⅱ)当AB与x轴垂直时,|AB|=.
②当AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由已知,得.
把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2﹣3=0,
∴x1+x2=,x1x2=
∴k≠0,|AB|2=(1+k2)(x2﹣x1)2=3+≤4,
当且仅当9k2=,即k=时等号成立,此时|AB|=2.
当k=0时,|AB|=.
综上所述:|AB|max=2,
此时△AOB面积取最大值=
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