湖北省荆门市洋县槐树关中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省荆门市洋县槐树关中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，若曲线上存在（x0，y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（　　） A．[0，e2﹣e+1] B．[0，e2+e﹣1] C．[0，e2+e+1] D．[0，e2﹣e﹣1] 参考答案： D 【考点】KE：曲线与方程． 【分析】求出y0的范围，证明f（y0）=y0，得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围． 【解答】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e， 显然f（x）=是增函数， （1）若f（y0）＞y0，则f（f（y0））＞f（y0）＞y0，与f（f（y0））=y0矛盾； （2）若f（y0）＜y0，则f（f（y0））＜f（y0）＜y0，与f（f（y0））=y0矛盾； ∴f（y0）=y0， ∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解， 由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx， 令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]， 则g′（x）=2x﹣1﹣==， ∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0， ∴g（x）在[1，e]上单调递增， ∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1， ∴0≤m≤e2﹣e﹣1． 故选D． 【点评】本题考查了函数零点与函数单调性的关系，函数单调性的判断与最值计算，属于中档题． 2. 等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和是(  ) A.130            B.170            C.210             D.260 参考答案： C 略 3. 已知函数f（x）= ，若方程f（f（x））﹣=0在实数集范围内无解，则实数k的取值范围是（　　） A．（﹣1，﹣） B．（﹣，） C．[0，+∞） D．（﹣，﹣] 参考答案： C 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断． 【分析】根据题意可得x＜0时，f（x）=＞0，即可得到k（）x+=0，方程无解，则k≥0，问题得以解决．再讨论x≥0时的情况． 【解答】解：当x＜0时，f（x）=＞0， ∴f（f（x））=k（）x+2， ∴k（）x+2﹣=0 ∴k（）x+=0， 当k≥0时方程无解， 当x≥0时，f（x）=kx+2， 若k≥0，则f（x）=kx+2≥2， ∴f（f（x））=k（f（x））≥2， ∴方程f（f（x））﹣=0，方程无解， 综上所述a≥0． 故选：C． 4. 执行如图的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是 A．15                 B．105               C．120                 D．720 参考答案： B 5. 已知，是不共线的向量，，，， 那么A、B、C三点共线的充要条件为    A．       B．      C．       D． 参考答案： D 略 6. 若a,b是任意的实数,且a>b,则(     ) A．      B.      C.lg(a-b)>0        D. 参考答案： A 7. 某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②。则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （A）分层抽样法，系统抽样法         （B）分层抽样法，简单随机抽样法 （C）系统抽样法，分层抽样法         （D）简单随机抽样法，分层抽样法  参考答案： 答案：B 8. 已知是实数，则“”是“”的（     ） A、充分不必要条件          B、必要不充分条件   C、充要条件                D、既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（    ） A．5 B． C． D．5 参考答案： D 10. 已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2   ＋6，则a的值为 A.               B.               C．2             D．4 参考答案： C ∵函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此最大值与最小值之和为a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2，故选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为         米． 参考答案： 考点：解斜三角形 在中，CD=20， , 在中， 故答案为： 12. 下列正确结论的序号是__________．     ①连续函数f（x）在区间（a，b）上有零点的充要条件为f（a）·f（b）<0； ②若函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x＋2，则f（1） ＋（1）＝3；     ③对>0，不等式＋－a>0恒成立，则实数a的取值范围为（－∞，2）；     ④若f（x）＝＋＋＋2x＋1，则f（2）的值用二进制表示为111101． 参考答案： ②④ 略 13. 已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个． 参考答案： 2   解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素． 14. 已知函数，若方程 至少有一个实根，则实数的取值范围          ． 参考答案： 略 15. 设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若,则角C=_________． 参考答案： ∵3sinA＝5sinB，∴3a＝5b.① 又∵b＋c＝2a，② ∴由①②可得，a＝b，c＝b. ∴cosC＝＝＝－. ∴C＝π. 16. 已知函数，若对任意的实数，均存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围为           ． 参考答案： 略 17. 已知正数a，b的等比中项是2，且m=b+，n=a+，则m+n的最小值是　  　． 参考答案： 5 【考点】7F：基本不等式． 【分析】由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4，m+n=b++a+，利用基本不等式求解． 【解答】解：由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4， ∵m=b+，n=a+， ∴m+n=b++a+． 由ab=4，那么b= ∴b++a+=，当且仅当a=2时取等号． 所以m+n的最小值是5． 故答案为：5． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax，a∈R． （1）若函数f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0 （实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1） 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）方程f（x）=﹣ax+m即为2lnx﹣x2+2ax﹣m=0，令g（x）=2lnx﹣x2+2ax﹣m，利用导数研究该函数在[，e]上的最小值，要使方程f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不相等的实数根，得到关于m的不等式组，解之即可； （2）将a用x1与x2表示，然后求出导函数f′（x），从而得到f′（px1+qx2），然后利用导数研究函数的单调性证明f′（px1+qx2）＜0． 【解答】解：（1）方程f（x）﹣ax+m=0即为2lnx﹣x2+m=0， 令g（x）=2lnx﹣x2+m，则g′（x）=﹣2x=， 因为x∈[，e]，故g'（x）=0时，x=1． 当＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0． 故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m﹣1， 又g（）=m﹣2﹣，g（e）=m+2﹣e2， g（e）﹣g（）=4﹣e2+＜0，则g（e）＜g（）， 故函数g（x）在[，e]上的最小值是g（e）． 方程f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不相等的实数根， 则有，解得1＜m≤2+， 故实数m的取值范围是（1，2+]． （2）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）， 2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2， 则2lnx1﹣+ax1=0①，2lnx2﹣+ax2=0②， 两式相减得a=（x1+x2）﹣， f（x）=2lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a， 则f′（px1+qx2）=﹣2（px1+qx2）+a=﹣+（2p﹣1）（x2﹣x1）．（*） ∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，又0＜x1＜x2，∴（2p﹣1）（x2﹣x1）≤0， 下证  ﹣＜0， 即证明 +ln＜0． 令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1， 即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立， ∵u′（t）=﹣=， ∵0＜p≤q，∴≥1，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0， ∴u（t）在（0，1）上是增函数， 则u（t）＜u（1）=0，从而知 +ln＜0， 故（*）＜0，即f'（px1+qx2）＜0成立． 19. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90o，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=1，AD=2，M是PD的中点。 （1）求证：MC∥平面PAB； （2）在棱PD上求一点Q，使二面角Q—AC—D的余弦值为。 参考答案： （1）过M作MN∥PA交AD于N，连接CN，         ∵PA⊥平面ABCD且MP=MD，∴MN⊥平面ABCD且NA=ND， ∴AB=BC=AN=CN=1， 又∠NAB=90o，DA∥BC，∴四边形ABCN为正方形， ∴AB∥NC，∴平面PAB∥平面MNC。 ∴MC∥平面PAB。 （2）建系（略），为棱PD的中点时符合题意。 20. 已知函数满足，且的最小值为． （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）若，，求的值． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求周期，即得，最后根据正弦函数性质求单调区间； （2）先求，再根据两角差正弦公式求的值． 【详解】（1） 因为，且的最小值为，所以, 因此 由得 即递增区间为 （2）， 【点睛】本题考查三角函数解析式、正弦函数单调性以及与两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 21. （本小题满分14分） 设函数,，其中 (I)求的单调区间； (II) 若存在极值点，且，其中，求证：； （Ⅲ）设，函数，求证：在区间[0，2]上的最大值不