湖北省荆州市蓝田中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖北省荆州市蓝田中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 现代社会对破译密码的难度要求越来越高。有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解，其中英文的的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数(见下表)： a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26  现给出一个变换公式：将明文转换成密文，     如，即变成； ，即变成。按上述规定,若将明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是     A．love            B． lhho          C．ohhl           D．eovl 参考答案： A 密文shxc中的s对应的数字为19，按照变换公式： ，原文对应的数字是12，对应的字母是； 密文shxc中的h对应的数字为8，按照变换公式： ，原文对应的数字是15，对应的字母是； 2. 某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修系列4的10门课程供学生选修，其中4—1，4—2，4—4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 A．120            B．98             C．63           D．56 参考答案： B 3. 已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是（    ） A.              B.          C.           D. 参考答案： A 略 4. 已知m，n为直线，α为平面，下列结论正确的是（　　） A．若m⊥n，n?α，则m⊥α B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 参考答案： D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】在A中：m与α相交、平行或m?α；在B中：n与α相交、平行或n?α；在C中：m与n相交、平行或异面；由直线与平面垂直的性质得D正确． 【解答】解：由m， n为直线，α为平面，知： 若m⊥n，n?α，则m与α相交、平行或m?α，故A错误； 若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n?α，故B错误； 若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间位置关系的合理运用． 5. 在△ABC中，分别是A、B、C的对边，已知sinA,sinB,sinC成等比数列，且，则角A为（  ） A．         B．       C．        D． 参考答案： D 6. 已知等比数列满足，则的公比为                           （     ） A．8                B．-8               C． 2                D．-2 参考答案： C 略 7. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）.  A． B． C． D． 参考答案： D 略 8. 若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为（    ）     A．      B．      C．        D． 参考答案： D 略 9. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（　　） A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e 参考答案： B 【考点】导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则． 【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解； 【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0） ∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1， 解得f′（1）=﹣1， 故选B； 10. 抛物线y2 = 16x的准线方程为 （     ）     A．x=4    B．x=－4    C．x=8    D．x= －8 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若由一个2×2列联表中的数据计算得2=6.825,那么确认两个变量有关系的把握性有                          ． 参考答案： 99﹪ 12. 对于三次函数，定义：是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是“对称中心”.请你将这一发现作为条件，则函数的对称中心为__________. 参考答案： ，，令，得.又， 所以的对称中心为. 13. （文科）正四面体V—ABC的棱长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的 中点，则四边形EFGH面积是_______________ 。 参考答案： 略 14. （5分）已知三个数a=60.7，b=0.76，c=log0.76，则a，b，c从小到大的顺序为　   　． 参考答案： 因为a=60.7＞60=1， b=0.76＜0.70=1，且b＞0， c=log0.76＜0， 所以c＜b＜a． 故答案为c＜b＜a． 利用指数函数的运算性质比较a和b的大小，由对数式的运算性质可知c＜0，由此答案可求． 15. 已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于_______． 参考答案： 3 16. 抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1?x2=﹣，则实数m的值为　　． 参考答案： 2 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值． 【解答】解：由题意， =﹣1，y2﹣y1=2（x22﹣x12）， ∴x1+x2=﹣， 在直线y=x+m上，即， 所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]=x2+x1+2m， ∴2m=4，∴m=2， 故答案为2． 17. 圆被直线分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为         . 参考答案： 1∶3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分13分） 已知数列满足, , （Ⅰ）计算出、、; （Ⅱ）猜想数列通项公式,并用数学归纳法进行证明. 参考答案： 解：（Ⅰ） ,    ,                                                  -------------------------3分；     （Ⅱ）由⑴知分子是3，分母是以首项为5公差为6的等差数列  ∴猜想数列 通项公式：       ---------------------5分       用数学归纳法证明如下： ①  当时，由题意可知，命题成立.------6分 ②  假设当时命题成立， 即   ，----7分 那么，当时， 也就说，当时命题也成立----------------------------------------------12分 综上所述，数列的通项公式为  ---------------------------13分 19. 在的展开式中，求： （1）第3项的二项式系数及系数； （2）含的项. 参考答案： （1）第3项的二项式系数为， 又，所以第3项的系数为240. （2）， 令，得.所以含的项为第2项，且. 20. (本题满分12分) 过点C(0,1)的椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(－a,0)．过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (1)当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长； (2)当点P异于点B时，求证：·为定值． 参考答案： 解：(1)由已知得b＝1，e＝＝，解得a＝2，所以椭圆方程为＋y2＝1 椭圆的右焦点为(，0)，此时直线l的方程为y＝－x＋1，代入椭圆方程化简得7x2－8x＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1，y2＝－， 所以D点坐标为. 故|CD|＝ ＝. (2)证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符． 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠)． 代入椭圆方程化简得(4k2＋1)x2＋8kx＝0. 解得x1＝0，x2＝，代入直线l的方程得y1＝1， y2＝，[来源:学,科,网] 所以D点坐标为. 又直线AC的方程为＋y＝1，直线BD的方程为y＝(x＋2)， 联立解得 因此Q点坐标为(－4k,2k＋1)． 又P点坐标为. 所以·＝·(－4k,2k＋1)＝4. 故·为定值． 21. 已知圆C圆心在直线上,且经过点A(2,－3)、B(－1,0). (1)求圆C的方程; (2)若圆C被直线l：y=kx截得的弦长为,求k的值．   参考答案： 解析: (1)AB的垂直平分线为，与 的交点为(－1,－3)， 所以圆心坐标为  C (－1,－3)，r=|CA| =3， 所以圆C的方程为   ; (2) 由半径r =3，弦长为,则圆心C到直线l的距离为d =， 所以=，即，得k=1或k=－7． 22. （10分）在某次试验中,有两个试验数据,统计的结果如右面的表格1. (I) 在给出的坐标系中画出的散点图; (II)填写表格2,然后根据表格2的内容和公式                                                                                                         求出对的回归直线方程,并估计当为10时的值是多少？                                                 参考答案： 略