湖北省荆门市京源中学2023年高三数学文模拟试题含解析

湖北省荆门市京源中学2023年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，且f（0）=﹣1，数列{an}是以为公差的等差数列，若f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，则=（　　） A．2016 B．2015 C．2014 D．2013 参考答案： B 【考点】等差数列的通项公式；导数的运算． 【专题】方程思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列． 【分析】函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx，可设f（x）=2x﹣cosx+c，利用f（0）=﹣1，可得：f（x）=2x﹣cosx．由数列{an}是以为公差的等差数列，可得an=a2+（n﹣2）×．由f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π，化简可得6a2﹣=．利用单调性可得a2，即可得出． 【解答】解：∵函数f（x）的导函数f′（x）=2+sinx， 可设f（x）=2x﹣cosx+c， ∵f（0）=﹣1，∴﹣1+c=﹣1，可得c=0． ∴f（x）=2x﹣cosx． ∵数列{an}是以为公差的等差数列， ∴an=a1+（n﹣1）×， ∵f（a2）+f（a3）+f（a4）=3π， ∴2（a2+a3+a4）﹣（cosa2+cosa3+cosa4）=3π， ∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π， ∴6a2﹣=． 令g（x）=6x﹣cos﹣， 则g′（x）=6+sin在R上单调递增， 又=0． ∴a2=． 则==2015． 故选：B． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2. 设a =，b = lg4, c =，则（   ）        A．c＜a＜b                B．c＜b＜a                 C．b＜c＜a                 D．b＜a＜c 参考答案： A 3. 下列函数中，在其定义域内满足”对任意当时,都有”的是 () A.    B.    C.     D. 参考答案： D 4. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（    ） A．12     B．22      C．30     D．32 参考答案： C 5. 集合，，若，则（ ▲ ）。 A．   B．   C．    D． 参考答案： A 略 6. 已知函数f(x)＝ax3＋x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝.程序框图如图所示，若输出的结果S＞，则判断框中可以填入的关于的判断条件是(　　　　) A．          B．    C．      D．   参考答案： C 7. 设0＜x＜ ，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的（    ） A．充分不必要条件        B．必要不充分条件    C．充分必要条件                D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. 已知抛物线，过焦点F的直线与此抛物线交于A，B两点，点A在第一象限，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为，直线的斜率为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 根据抛物线的几何性质，求出点A的坐标，得到，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则， 因为直线的斜率为，所以，所以， 所以， 所以的面积为，故选A． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应用抛物线的几何性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9. 在平面直角坐标系中，抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率，则线段PF的长为 （    ） A．4   B．5   C．6   D．7 参考答案： C ∵抛物线的方程为 ∴焦点 ，准线的方程为 . ∵直线AF的斜率 ∴直线AF的方程为 ，当 时， ，即 . ∵ 为垂足 ∴P点的纵坐标为 ，代入到抛物线方程得，P点的坐标为 . ∴ 故选C. 10. 已知sin(π＋α)＝，则cos α的值为(　　)． A．±                              B. C.                               D．± 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的零点在区间上，则的值为            ． 参考答案： 1 12. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为          ． 参考答案： 13. 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为        ． 参考答案： 14. 若函数上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为__________. 参考答案： 15. 函数的定义域是             ． 参考答案： {x| x≥1} 16. 已知向量，若向量与垂直，则m=______． 参考答案： 7 利用平面向量的加法公式可得：， 由平面向量垂直的充要条件可得：， 解方程可得：.   14.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________． 【答案】 【解析】 由题意知圆的半径 圆的方程为 17. 已知函数，若y=f（x）+f'（x）是偶函数，则?=　　． 参考答案： ﹣+kπ，k∈Z 【考点】函数奇偶性的判断． 【分析】求函数的导数，利用辅助角公式将函数进行化简，利用三角函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）=cos（x+?） ∴f′（x）=﹣sin（x+?）， 则f（x）+f′（x）=cos（x+?）﹣sin（x+?）=2cos（x+?+）， 若f（x）+f′（x）是偶函数， 则?+=kπ，k∈Z， 即?=﹣+kπ，k∈Z， 故答案为﹣+kπ，k∈Z． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）． （1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程； （2）直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x2+y2=6y，配方可得圆心C（0，3），半径r=3．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程． （2）由直线l经过定点P（1，2），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k1，即可得出． 【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ2=6ρsinθ， 化为直角坐标方程：x2+y2=6y，配方为：x2+（y﹣3）2=9，圆心C（0，3），半径r=3． 直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：x﹣ay+2a﹣1=0． （2）由直线l经过定点P（1，2），此点在圆的内部， 因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，则，解得k1=1． ∴，解得a=1． 19. （本小题满分12分） 已知等差数列的前项和满足，。 （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和。 参考答案： 20. （本小题满分10分） 《选修4—1：几何证明选讲》 如图，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，． (Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线； (Ⅱ)若，求EC的长． 参考答案： （Ⅰ）设线段的中点为，连接， 点是圆心，        …………..2分 又平分. 又. 是△的外接圆的切线                   …………..5分 (Ⅱ) 由（Ⅰ）知是圆的切线, ， .                               ……………8分 又由（Ⅰ）知. .                               ………………10分 21. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D，E分别为边AC，AB的中点，点F，G分别为线段CD，BE的中点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使∠A1DC=60°．点Q为线段A1B上的一点，如图2． （Ⅰ）求证：A1F⊥BE； （Ⅱ）线段A1B上是否存在点Q，使得FQ∥平面A1DE？若存在，求出A1Q的长，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）当时，求直线GQ与平面A1DE所成角的大小． 参考答案： 解：（Ⅰ）证明： ∵A1D=DC， ∠A1DC=60°， ∴△A1DC为等边三角形，又F为线段CD的中点， ∴A1F⊥DC， 由图1可知ED⊥A1D，ED⊥DC， ∴ED⊥平面A1DC，又A1F?平面A1DC， ∴ED⊥A1F， 又ED∩DC=D，DE?平面BCDE，CD?平面BCDE， ∴A1F⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE， 所以A1F⊥BE．     （Ⅱ）取A1B的中点Q，连接FG，FQ，GQ， ∵G，F，Q分别是BE，CD，A1B的中点， ∴FG∥DE，GQ∥A1E， 又FG?平面GFQ，GQ?平面GFQ，DE?平面A1DE，A1E?平面A1DE， ∴平面GFQ∥平面A1DE，又FQ?平面GFQ， ∴FQ∥平面A1DE． ∴当Q为A1B的中点时，FQ∥平面A1DE． 连接BF，则BF==， 由（I）知△A1DC是边长为2的等边三角形，A1F⊥平面BCDE， ∴A1F=，A1F⊥BF， ∴A1B==2， ∴A1Q==． （Ⅲ）以F为原点，以FC，FG，FA1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则D（﹣1，0，0），E（﹣1，1，0），A1（0，0，），B（1，2，0），G（0，，0）， ∴=（1，2，﹣），=（0，1，0），=（1，0，），=（0，﹣，）， ∴==（，，﹣），∴=+=（，0，）， 设平面A1DE的法向量为=（x，y，z），则， ∴，令z=1得=（﹣，0，1）， ∴cos＜＞===﹣， 设直线GQ与平面A1DE所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=， ∴直线GQ与平面A1DE所成角为30°． 　 22. 设函数，其中向量，，． （1）求的单调递增区间； （2）在中，分别是角的对边，已知，的面积为，求的值． 参考答案： （1）==+1 令 解得 故的单调递增区间为 注：若没写，扣一分   （2）由得 而，所以，所以得 又，所以   略