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湖北省荆门市京源中学2023年高三数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,且f(0)=﹣1,数列{an}是以为公差的等差数列,若f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,则=( )
A.2016 B.2015 C.2014 D.2013
参考答案:
B
【考点】等差数列的通项公式;导数的运算.
【专题】方程思想;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列.
【分析】函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,可设f(x)=2x﹣cosx+c,利用f(0)=﹣1,可得:f(x)=2x﹣cosx.由数列{an}是以为公差的等差数列,可得an=a2+(n﹣2)×.由f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,化简可得6a2﹣=.利用单调性可得a2,即可得出.
【解答】解:∵函数f(x)的导函数f′(x)=2+sinx,
可设f(x)=2x﹣cosx+c,
∵f(0)=﹣1,∴﹣1+c=﹣1,可得c=0.
∴f(x)=2x﹣cosx.
∵数列{an}是以为公差的等差数列,
∴an=a1+(n﹣1)×,
∵f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,
∴2(a2+a3+a4)﹣(cosa2+cosa3+cosa4)=3π,
∴6a2+﹣cosa2﹣﹣=3π,
∴6a2﹣=.
令g(x)=6x﹣cos﹣,
则g′(x)=6+sin在R上单调递增,
又=0.
∴a2=.
则==2015.
故选:B.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、利用导数研究函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2. 设a =,b = lg4, c =,则( )
A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c
参考答案:
A
3. 下列函数中,在其定义域内满足”对任意当时,都有”的是 ()
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
A.12 B.22 C.30 D.32
参考答案:
C
5. 集合,,若,则( ▲ )。
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 已知函数f(x)=ax3+x2在x=-1处取得极大值,记g(x)=.程序框图如图所示,若输出的结果S>,则判断框中可以填入的关于的判断条件是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 设0<x< ,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
8. 已知抛物线,过焦点F的直线与此抛物线交于A,B两点,点A在第一象限,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为,直线的斜率为,则的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据抛物线的几何性质,求出点A的坐标,得到,利用三角形的面积公式,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,抛物线的焦点为,准线方程为,
设,则,
因为直线的斜率为,所以,所以,
所以,
所以的面积为,故选A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用,以及三角形面积的计算,其中解答中熟练应用抛物线的几何性质,合理准确计算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
9. 在平面直角坐标系中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,若直线AF的斜率,则线段PF的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
C
∵抛物线的方程为
∴焦点 ,准线的方程为 .
∵直线AF的斜率
∴直线AF的方程为 ,当 时, ,即 .
∵ 为垂足
∴P点的纵坐标为 ,代入到抛物线方程得,P点的坐标为 .
∴
故选C.
10. 已知sin(π+α)=,则cos α的值为( ).
A.± B.
C. D.±
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知的零点在区间上,则的值为 .
参考答案:
1
12. 若向量与满足,且,则向量在方向上的投影为 .
参考答案:
13. 将甲、乙两个球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中,每个盒子的放球数量不限,则在1,2号盒子中各有1个球的概率为 .
参考答案:
14. 若函数上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为__________.
参考答案:
15. 函数的定义域是 .
参考答案:
{x| x≥1}
16. 已知向量,若向量与垂直,则m=______.
参考答案:
7
利用平面向量的加法公式可得:,
由平面向量垂直的充要条件可得:,
解方程可得:.
14.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________.
【答案】
【解析】
由题意知圆的半径
圆的方程为
17. 已知函数,若y=f(x)+f'(x)是偶函数,则?= .
参考答案:
﹣+kπ,k∈Z
【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】求函数的导数,利用辅助角公式将函数进行化简,利用三角函数的图象和性质即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=cos(x+?)
∴f′(x)=﹣sin(x+?),
则f(x)+f′(x)=cos(x+?)﹣sin(x+?)=2cos(x+?+),
若f(x)+f′(x)是偶函数,
则?+=kπ,k∈Z,
即?=﹣+kπ,k∈Z,
故答案为﹣+kπ,k∈Z.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程;
(2)直线l与曲线C交于B,D两点,当|BD|取到最小值时,求a的值.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐标方程:x2+y2=6y,配方可得圆心C(0,3),半径r=3.直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得普通方程.
(2)由直线l经过定点P(1,2),此点在圆的内部,因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k1,即可得出.
【解答】解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ,即ρ2=6ρsinθ,
化为直角坐标方程:x2+y2=6y,配方为:x2+(y﹣3)2=9,圆心C(0,3),半径r=3.
直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t可得:x﹣ay+2a﹣1=0.
(2)由直线l经过定点P(1,2),此点在圆的内部,
因此当CP⊥l时,|BD|取到最小值,则,解得k1=1.
∴,解得a=1.
19. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和满足,。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和。
参考答案:
20. (本小题满分10分) 《选修4—1:几何证明选讲》
如图,在Rt△ABC中,, BE平分∠ABC交AC于点E, 点D在AB上,.
(Ⅰ)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(Ⅱ)若,求EC的长.
参考答案:
(Ⅰ)设线段的中点为,连接,
点是圆心, …………..2分
又平分.
又.
是△的外接圆的切线 …………..5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知是圆的切线,
,
. ……………8分
又由(Ⅰ)知.
. ………………10分
21. 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D,E分别为边AC,AB的中点,点F,G分别为线段CD,BE的中点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使∠A1DC=60°.点Q为线段A1B上的一点,如图2.
(Ⅰ)求证:A1F⊥BE;
(Ⅱ)线段A1B上是否存在点Q,使得FQ∥平面A1DE?若存在,求出A1Q的长,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)当时,求直线GQ与平面A1DE所成角的大小.
参考答案:
解:(Ⅰ)证明:
∵A1D=DC,
∠A1DC=60°,
∴△A1DC为等边三角形,又F为线段CD的中点,
∴A1F⊥DC,
由图1可知ED⊥A1D,ED⊥DC,
∴ED⊥平面A1DC,又A1F?平面A1DC,
∴ED⊥A1F,
又ED∩DC=D,DE?平面BCDE,CD?平面BCDE,
∴A1F⊥平面BCDE,又BE?平面BCDE,
所以A1F⊥BE.
(Ⅱ)取A1B的中点Q,连接FG,FQ,GQ,
∵G,F,Q分别是BE,CD,A1B的中点,
∴FG∥DE,GQ∥A1E,
又FG?平面GFQ,GQ?平面GFQ,DE?平面A1DE,A1E?平面A1DE,
∴平面GFQ∥平面A1DE,又FQ?平面GFQ,
∴FQ∥平面A1DE.
∴当Q为A1B的中点时,FQ∥平面A1DE.
连接BF,则BF==,
由(I)知△A1DC是边长为2的等边三角形,A1F⊥平面BCDE,
∴A1F=,A1F⊥BF,
∴A1B==2,
∴A1Q==.
(Ⅲ)以F为原点,以FC,FG,FA1为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则D(﹣1,0,0),E(﹣1,1,0),A1(0,0,),B(1,2,0),G(0,,0),
∴=(1,2,﹣),=(0,1,0),=(1,0,),=(0,﹣,),
∴==(,,﹣),∴=+=(,0,),
设平面A1DE的法向量为=(x,y,z),则,
∴,令z=1得=(﹣,0,1),
∴cos<>===﹣,
设直线GQ与平面A1DE所成角为θ,则sinθ=|cos<>|=,
∴直线GQ与平面A1DE所成角为30°.
22. 设函数,其中向量,,.
(1)求的单调递增区间;
(2)在中,分别是角的对边,已知,的面积为,求的值.
参考答案:
(1)==+1
令
解得
故的单调递增区间为
注:若没写,扣一分
(2)由得
而,所以,所以得
又,所以
略
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