湖北省荆州市笔架中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市笔架中学高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线＞，弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为 A．           B．           C．            D． 参考答案： B 2. 复数的虚部为（  ）            A、1            B、-1              C、i             D、-i 参考答案： B 3. 下列函数中，在区间上为减函数的是(    ) A．       B．       C．     D． 参考答案： 4. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图，下列关于函数的命题：   ①函数是周期函数； ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； ④当时，函数有4个零点。 其中真命题的个数是 （A）4个   （B）3个   （C）2个   （D）1个 参考答案： D 由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以函数不是周期函数，①不正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，所以真命题的个数为1个，选D. 5. 命题“所有能被2整除的整数是偶数”的否定是（   ） A．所有不能被2整除的整数都是偶数        B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数都是偶数    D．存在一个能被2整除的整数不是偶数 参考答案： D 略 6. 在的展开式中，项的系数为（  ） A．200        B．180       C. 150        D．120 参考答案： C 展开式的通项公式为， 令可得：，则， 展开式的通项公式为， 令可得：， 据此可得： 项的系数为. 本题选择C选项.   7. 已知数列{an}中，，，若，则n的最大取值为（  ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 参考答案： D 【分析】 利用等比数列的定义求出，解不等式，即可求出。 【详解】，数列是公比，首项为的等比数列，，由，得的最大值为.故选D。 【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用。 8. 设a∈,则使函数的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是(      ) A．      B．      C．      D．  参考答案： A 9. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（　　） A．4 B．2 C．0 D．14 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论． 【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b， 则b变为12﹣8=4， 由b＜a，则a变为8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：A． 【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题． 10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，若△ABC的面积为，则c=（    ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，，. 又，解得， ∴， 故选:B. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积）．则由四维空间中“超球”的三维测度，推测其四维测度=          ． 参考答案： 12. 双曲线的渐近线的夹角为　　． 参考答案： 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：， 则其渐近线方程为：y=±x， 直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为， 则其渐近线的夹角为， 故答案为：． 13. 双曲线的顶点到其渐近线的距离为       ．  参考答案： 14. 设函数．若f(x)为奇函数，则曲线在点(0,0)处的切线方程为___________． 参考答案： 【分析】 首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，从而得到，即， 所以，所以，所以切点坐标是， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 故答案是. 【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目. 15. (文科) 已知长方体的棱，，，如图3所示，则异面直线与所成的角是　             　　(结果用反三角函数值表示)．               参考答案： 16. 有11个座位，现安排甲、乙2人就坐，甲、乙都不坐正中间的1个座位，并且这两人不相邻的概率是        ． 参考答案： 17. 用12米的绳子围成一个矩形，则这个矩形的面积最大值为　   　． 参考答案： 9 【考点】基本不等式． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6，矩形面积S=x（6﹣x），由基本不等式求最值可得． 【解答】解：设矩形的一边长为x，则临边长为6﹣x，其中0＜x＜6， 则矩形面积S=x（6﹣x）≤=9， 当且仅当x=6﹣x即x=3时取等号． 故答案为：9 【点评】本题考查基本不等式简单实际应用，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 如图，在五面体中，已知平面，，，，． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 参考答案： 【知识点】线面平行的判定与性质；几何体的结构.  G4  G1 【答案解析】（1）略；（2）.  解析：（1）因为AD//BC，AD平面ADEF， BC平面ADEF,  所以BC//平面ADEF,----------3分 又BC平面BCEF,  平面BCEF平面ADEF=EF, 所以BC//EF.----------------6分 （2）在平面ABCD 内作BH  AD与点H, 因为DE平面ABCD,BH平面ABCD ,所以DHBH, 又AD, DE平面ADEF, ADDE=D, 所以BH平面ADEF , 所以BH是三棱锥B-DEF的高. 在直角三角形ABH中，BAD=,  AB=2，所以BH=， 因为DE平面ABCD ,AD平面ABCD ,所以DEAD, 又由（1）知，BC//EF,且AD//BC,所以AD//EF,所以DEEF, 所以三棱锥B-DEF的体积. 【思路点拨】(1)利用线面平行的判定与性质定理证得结论；（2）根据棱锥的体积公式，底面面积易求，顶点B到底面DEF的距离为B到直线AD的距离，由此求得三棱锥B-DEF的体积. 19. （本题满分12分） 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式及的最大值； （2）令,其中,求的前项和． 参考答案： （1）因为，所以当时,， 当时,，  （3分） 令得，当或时,取得最大值12 综上, ,当或时,取得最大值12  （6分） （2）由题意得  （8分） 所以,即数列是首项为,公比是的等比数列 故的前项和  ①   ② 所以①②得：  （10分） （12分） 20. 已知{an}是公差为d的等差数列，?n∈N*，an与an+1的等差中项为n． （1）求a1与d的值； （2）设bn=2n?an，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 考点：数列的求和；等差数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）在等差数列{an}中，由an与an+1的等差中项为n，得an+an+1=2n，代入等差数列的通项公式后由系数相等求得首项和公差； （2）由（1）求出{an}的通项，代入bn=2n?an，分组后利用错位相减法求和． 解答： 解：（1）在等差数列{an}中，由an与an+1的等差中项为n，得an+an+1=2n， 即2a1+（2n﹣1）d=2n，（2a1﹣d）+2nd=2n， ∴，解得． （2）由（1）知，． bn=2n?an=． ∴ = = =（1?21+2?22+…+n?2n）+2n﹣1． 令， 则， 两式作差得：=（1﹣n）?2n+1﹣2． ∴． ∴． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了数列的分组求和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题． 21. 在中， 的对边分别是，且满足. （1）求的大小；  （2）设m，n，且m·n的最大值是5，求的值. 参考答案： 解析：（1）， ，即   .    .    （2）m·n=，设则. 则m·n=   时，m·n取最大值. 依题意得，(m·n)= 22. 已知函数，． （1）当时，解不等式； （2）若的值域为[2,+∞)，求． 参考答案： （1）或；（2）见解析． （1）当时，， ①当时，不等式可化为：，即，故， ②当时，不等式可化为：，即，故， ③当时，不等式可化为，即，故， 综上，不等式的解集是或． （2）根据绝对值三角不等式可知， 的值域是， 故，， 故， 当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得．