湖北省荆州市龙口中学高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市龙口中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC中，“”是“”的（     ）条件                       A．充分不必要    B． 必要不充分 C．充要条件       D．既不充分又不必要 参考答案： C 2. 若函数（）有大于零的极值点，则实数范围是    （   ） A．     B．     C．     D． 参考答案： B 解：因为函数y=e（a-1）x+4x，所以y′=（a-1）e（a-1）x+4（a＜1），所以函数的零点为x0=，因为函数y=e（a-1）x+4x（x∈R）有大于零的极值点，故＝0，得到a<-3,选B 3. （2x-1）6展开式中x2的系数为 （A）15               （B）60                       （C）120                     （D）240 参考答案： 答案：B 解析： 4. 定义在上的函数，满足，，若，且，则有（    ） A.    B.    C.     D.不确定 参考答案： A 略 5. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为   (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18   参考答案： C 第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4， 6. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是（　　） 　 A． 4 B． 2 C． 1 D． 参考答案： C 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z=y﹣2x的最大值的位置即可求出其最值． 解答： 解：由题意，可行域如图， 由得A（0，1）． 目标函数z=y﹣2x的最大值在点A（0，1）出取到， 故目标函数z=﹣2x+y的最大值是1． 故选C． 点评： 本题考查简单线性规划求最值，其步骤是作出可行域，判断最优解，求最值，属于基本题． 7. 函数的定义域为，且满足：是偶函数，是奇函数，若，则（  ▲  ） A.9         B.9         C.3         D.0 参考答案： B 略 8.  函数的图象必经过点（    ） A、(0,1)            B、(1,1)              C、(2,0)             D、(2,2)   参考答案： D 9. 已知函数y=f（x）是R上的减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称．设动点M（x，y），若实数x，y满足不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0恒成立，则?的取值范围是(     ) A．（﹣∞，+∞） B．[﹣1，1] C．[2，4] D．[3，5] 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算；函数单调性的性质． 【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用． 【分析】根据函数y=f（x﹣1）的图象关于点 （1，0）对称，可得函数f（x）是奇函数，利用函数y=f（x）是定义在R上的减函数，化简不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0，即有x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0，即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，运用向量的数量积的坐标表示可得范围． 【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点 （1，0）对称， ∴函数y=f（x）的图象关于点 （0，0）对称，即函数是奇函数， ∴不等式 f（x2﹣8y+24）+f（y2﹣6x）≥0等价于不等式f（x2﹣8y+24）≥f（6x﹣y2）， ∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数， ∴x2﹣8y+24≤6x﹣y2，即为x2+y2﹣6x﹣8y+24≤0， 即有（x﹣3）2+（y﹣4）2≤1，① 则?=1?x+0?y=x， 由①可得，|x﹣3|≤1，解得2≤x≤4． 故选：C． 【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 10. 已知集合，，则（   ） A．(3,4)         B．(－∞,－1)       C．(－∞,4)       D．(3,4)∪(－∞,－1) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为           . 参考答案： 12. 函数，实数互不相同，若，则的范围为             ． 参考答案： 略 13. 点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是　    　． 参考答案： 2 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值． 【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x， 所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为， 所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为， 所以△OPQ面积的最小值为． 故答案为2． 14. 2018年8月31日，十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了关于修改个人所得税法的决定，这是我国个人所得税法自1980年出台以来第七次大修为了让纳税人尽早享受减税红利，在过渡期对纳税个人按照下表计算个人所得税，值得注意的是起征点变为5000元，即如表中“全月应纳税所得额”是纳税者的月薪金收入减去5000元后的余额． 级数 全月应纳税所得额 税率 1 不超过3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过12000元至25000元的部分 20% … … … 某企业员工今年10月份的月工资为15000元，则应缴纳的个人所得税为______元 参考答案： 790 15. 已知函数，若不等式|f（x）|﹣mx+2≥0恒成立，则实数m的取值范围为　　． 参考答案： [﹣3﹣2，0] 【考点】绝对值三角不等式． 【分析】将原问题转化为两个函数图象之间的关系的问题，然后数形结合即可求得最终结果． 【解答】解：不等式即：mx≤|f（x）|+2恒成立， 绘制函数|f（x）|+2的图象，则正比例函数y=mx恒在函数|f（x）|+2的图象下方， 考查函数：y=x2﹣3x+2 经过坐标原点的切线， 易求得切线的斜率为， 据此可得：实数m的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的应用，数形结合的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 　 16. 一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时元. 当速度为海里/小时时，每小时的燃料费是元. 若匀速行驶海里，当这艘轮船的速度为___________海里/小时时，费用总和最小. 参考答案： 略 17. 在等比数列{an}中，已知a1+a2=1，a3+a4=2，则a9+a10=　  　． 参考答案： 16． 【分析】由{an}是等比数列，可得a1+a2，a3+a4，…，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解． 【解答】解：在等比数列{an}中，由a1+a2=1，a3+a4=2， 可得a9+a10=（a1+a2）×24=1×24=16． 故答案为：16． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知函数在上的最大值为,当把的图象上的所有点向右平移个单位后,得到图象对应的函数的图象关于直线对称. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)在中, 三个内角所对的边分别是,已知在轴右侧的第一个零点为,若,求的面积的最大值. 参考答案： （Ⅰ）由题意知，函数在区间上单调递增，所以，…2分 ,得 ，…………3分 经验证当时满足题意，故求得，所以，…………4分 故，又，所以=. 故.…………6分 （Ⅱ）根据题意，，又,…………8分 得：，…………10分 ,∴S=, ∴S的最大值为.…………12分 19. （本小题满分10）选修4—4；坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为，斜率为的直线交y轴于点E（0,1）． （I）求C的直角坐标方程，的参数方程； （II）直线与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB |。 参考答案： 20. 已知函数f（x）=﹣x2+2lnx． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）若函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点， （i）求实数a的值； （ii）若对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f（x）的最大值； （Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g（x）的极值点，从而可求a的值； （ⅱ）先求出x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再将对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）求导函数可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0） 由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得， x＞1． ∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数． ∴函数f（x）的最大值为f（1）=﹣1． （Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣． （ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f（x）的极值点， 又∵函数f（x）与g（x）=x+有相同极值点， ∴x=1是函数g（x）的极值点， ∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1． （ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3， ∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1）， ∴x1∈[[，3]时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1 由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣． 当x∈[，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，3]时，g′（x）＞0． 故g（x）在[，1）为减函数，在（1，3]上为增函数． ∵，g（1）=2，g（3）=， 而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3） ∴x2∈[[，3]时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）= ①当k﹣1＞0，即k＞1时， 对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1 ∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3， ∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1． ②当k﹣1＜0，即k＜1时， 对于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k≤[f（x1）﹣g（x2