湖北省荆州市石首体育中学高一数学理联考试题含解析

湖北省荆州市石首体育中学高一数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cos∠ABC=（     ） A． B． C． D． 参考答案： C 2. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的结果是（   ） A．          B．          C．          D．                   参考答案： C 3. 函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案： A 试题分析：因为函数在上单调递增函数，所以，即，对恒成立，从而，即，即，解得 ，故选择A． 考点：二次函数与正切函数性质综合． 4. 以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC1中点坐标可以为    （   ） A、（，1，1） B、（1，，1）C、（1，1，）D、（，，1） 参考答案： C 5. 掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（　　） A．P（M）=，P（N）= B．P（M）=，P（N）= C．P（M）=，P（N）= D．P（M）=，P（N）= 参考答案： D 【考点】古典概型及其概率计算公式． 【分析】分别列举出满足条件的所有的事件总数，再列出事件M的所有的基本事件，和事件N的所有基本事件，分别代入古典概型公式即可得到答案． 【解答】解：记掷一枚均匀的硬币两次，所得的结果为事件I，则 I={（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）}， 则事件M：一次正面朝上，一次反面朝上； ∴M={（正，反）、（反，正）}， 事件N：至少一次正面朝上， ∴N={（正，正）、（正，反）、（反，正）}， ∴P（M）=，P（N）=． 故选D 【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根列举出基本事件总数，及事件M，N的基本事件个数，是解答本题的关键． 6. 已知平面向量=（2，-1），=（1，1），=（-5，1），若∥，则实数k的值为（　　） A．2         B.        C.        D. 参考答案： 【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示． B  解：∵=（2，-1），=（1，1）， ∴＝(2，-1)+k(1，1)＝(2+k，k-1)，又 =（-5，1），且∥，， ∴1×（2+k）-（-5）×（k-1）=0，解得：k=． 故选：B． 【思路点拨】直接由向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值． 7. 如图给出了函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（　　） A．①②③④ B．①③②④ C．②③①④ D．①④③② 参考答案： B 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案． 【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下， ∴a﹣1＜0，即a＜1． 又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1， ∴y=ax为减函数，图象为①；y=logax为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②． ∴与函数y=ax，y=logax，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④． 故选B． 8. 若函数的定义域是[0，3]，则函数的定义域是  (    )． (A)[0,1)      (B)[0,1]       (C)[0,1)U(1,9]      (D)(0,1) 参考答案： A 9. 已知||=6，||=3， ?=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 参考答案： D 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】向量在向量方向上的投影为cos＜，＞=，代入数值计算即可． 【解答】解：向量在向量方向上的投影为： cos＜，＞===﹣4 故选：D 10. 空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是(　　) A．线段AB的中垂线 B．线段AB的中垂面 C．过AB中点的一条直线 D．一个圆 参考答案： B 　空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 求值           参考答案：      12. 已知x，y满足约束条件，则的最小值为        参考答案： 5 作可行域，直线过点A时取最小值5，   13. 已知集合,,则   ▲   ． 参考答案： 14. 函数在区间[0,4]的最大值是  参考答案：        15. 已知，则           ． 参考答案： 16. 若，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________． 参考答案： 18    17. 若不等式对恒成立，则实数k的取值范围是             ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n，当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，在此定义下，求集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素有多少个？ 参考答案： 解：当a，b同奇偶时，根据m※n＝m＋n将12分拆为两个同奇偶数的和，当a，b一奇一偶时，根据m※n＝mn将12分拆为一个奇数与一个偶数的积，再算其组数即可． 若a，b同奇偶，有12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7＝6＋6，前面的每种可以交换位置，最后一种只有1个点(6，6)，这时有2×5＋1＝11(个)； 若a，b一奇一偶，有12＝1×12＝3×4，每种可以交换位置，这时有2×2＝4(个)． 所以共有11＋4＝15(个)．   19. （本小题满分12分） 已知函数满足对一切都有,且, 当时有. (1)求的值; (2)判断并证明函数在上的单调性; (3)解不等式:. 参考答案： ⑴在上是减函数. （2）略 ⑶. 略 20. 已知函数的部分图象如图所示 （1）将函数的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移个单位后得到函数的图像，求函数的最大值及最小正周期； （2）求使的的取值范围的集合。 参考答案： （1）由图知，所以       （2） ， 略 21. （本小题满分15分）已知正项数列的前项和为，数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立； （3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围.[KS5UKS5U] 参考答案： （1）；（2）见解析；（3）或． 试题解析：（1）， 当时，， 两式相减得：，所以． 因为数列为正项数列，故，也即， 所以数列为以1为首项1为公差的等差数列， 故通项公式为.KS5U （3）易知，则 ① ② ①-②可得： 故，所以不等式成立， 若为偶数，则，所以 设，则在单调递减， 故当时，，所以； 若为奇数，则，所以 设，则在单调递增， 故当时，，所以 综上所述，的取值范围或. 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、错位相减法数列的和；3、函数的单调性；4、放缩法；5、不等式恒成立问题． 【技巧点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类的问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了． 22. 小王大学毕业后决定利用所学知识自主创业，在一块矩形的空地上办起了养殖场，如图所示，四边形ABCD为矩形，AB=200米，AD=200米，现为了养殖需要，在养殖场内要建造蓄水池，小王因地制宜，建造了一个三角形形状的蓄水池，其中顶点分别为A，E，F（E，F两点在线段BD上），且∠EAF=，设∠BAE=α． （1）请将蓄水池的面积f（α）表示为关于角α的函数形式，并写出角α的定义域； （2）当角α为何值时，蓄水池的面积最大？并求出此最大值． 参考答案： 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）先求出α的范围，再分别根据正弦定理得到AE，AF，再根据三角形的面积公式即可表示出f（α）， （2）根据正弦函数的图象和性质即可求出最值． 【解答】解：（1）∵∠BCD=，∠EAF=，设∠BAE=α∈， 在△ABD中，AD=200米，AD=200米，∠BCD=， ∴∠ABD=， 在△ABF中，∠AFB=π﹣∠ABF﹣∠BAF=π﹣﹣（+α）=﹣α， 由正弦定理得： ===， ∴AF=， 在△ABE中，由正弦定理得： ==， ∴AE=， 则△AEF的面积S△AEF=AE?AF?sin∠EAF==，α∈， ∴f（α）=，α∈， （2）∵α∈， ∴（2α+）∈[，π]． ∴0≤sin（2α+）≤1， ∴2sin（2α+）+的最小值为， ∴当α=时，f（α）max=1000