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湖北省荆门市私立高科学校2022-2023学年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f(x)=kax﹣a﹣x(a>0且a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数g(x)=loga(x+k)的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的图象.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数,则由复合函数的性质,我们可得k=1,a>1,由此不难判断函数的图象.
【解答】解:∵函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数
则f(﹣x)+f(x)=0
即(k﹣1)(ax﹣a﹣x)=0
则k=1
又∵函数f(x)=kax﹣a﹣x,(a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数
则a>1
则g(x)=loga(x+k)=loga(x+1)
函数图象必过原点,且为增函数
故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函数,则f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键.
2. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5?{m}+1)(元)决定,其中m>0,{m}是大于或等于m的最小整数,(如:{3}=3,{3.8}=4,{3.1}=4),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为( )
A.3.71元 B.3.97元 C.4.24元 D.4.77元
参考答案:
C
【考点】函数模型的选择与应用.
【分析】先利用{m}是大于或等于m的最小整数求出{5.5}=6,再直接代入f(m)=1.06(0.50×{m}+1)即可求出结论.
【解答】解:由{m}是大于或等于m的最小整数可得{5.5}=6.
所以f(5.5)=1.06×(0.50×{5.5}+1)=1.06×4=4.24.
故选:C.
3. 设集合,集合,则A∩B=( ).
A. {4} B. {3,4} C. {2,3,4} D. {0,1,2,3,4}
参考答案:
B
【分析】
由集合的交集运算得解
【详解】
={x|x≥3或x≤-2},由此,故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算,属于基础题。
4. 设向量,则等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
5. f(x)=lnx+x﹣2的零点在下列哪个区间内( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】计算题.
【分析】利用根的存在定理分别判断端点值的符合关系.
【解答】解:因为f(1)=ln1+1﹣2=﹣1<0,f(2)=ln2+2﹣2>0,
所以函数f(x)=lnx+x﹣2的零点所在的区间为(1,2).
故答案为 B.
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断,判断的主要方法是利用根的存在性定理,判断函数在给定区间端点处的符号是否相反.
6. 满足“对定义域内任意实数,都有”的函数可以是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 函数()的图象经过、两点,则( )
A.最大值为 B.最小值为 C.最大值为 D.最小值为
参考答案:
D
试题分析:因为分别为图象上的最低点和最高点,,即,所以,故选择D.
考点:三角函数的图象与性质.
8. 在中,若,则角的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知a,b,c是△ABC三边之长,若满足等式(a+b﹣c)( a+b+c)=ab,则∠C的大小为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
参考答案:
C
【考点】余弦定理.
【分析】由(a+b﹣c)(a+b+c)=ab可得c2=a2+b2+ab,由余弦定理可得,cosC==可求C的值.
【解答】解:∵(a+b﹣c)(a+b+c)=ab,
∴c2=a2+b2+ab,
由余弦定理可得,cosC====,
∵0°<C<180°,
∴C=120°,
故选:C.
10. 直线经过斜率为2,则这条直线的方程是( );
A. B.
C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若的定义域是,则的定义域是 。
参考答案:
12. 奇函数的图象关于直线对称,若,则等于 .
参考答案:
-2
对称轴为3,则,
又为奇函数,则。
13. 满足条件的集合M的个数是 个
参考答案:
7
14. 已知角α终边上一点P(-3,4),则sinα=____
参考答案:
【分析】
根据三角函数的定义即可求解.
【详解】解:已知角a的终边经过点,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义,熟记定义,即可求解,属于基础题型.
15. 设集合是小于5的质数,则的真子集的个数为 .
参考答案:
3
16. 函数满足:,则的单调递增区间为 ▲ .
参考答案:
17. (5分)已知a<0,直线l1:2x+ay=2,l2:a2x+2y=1,若l1⊥l2,则a= .
参考答案:
﹣1
考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系.
专题: 直线与圆.
分析: 利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出.
解答: 两条直线的斜率分别为:﹣,﹣.
∵l1⊥l2,
∴=﹣1,
解得a=﹣1.
故答案为:﹣1.
点评: 本题考查了相互垂直的直线与斜率之间的关系,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 现有命题“矩形的两条对角线长度相等”,写出它的逆命题与逆否命题,并说明其真或假的理由.
参考答案:
逆命题“若四边形的对角线相等,则该四边形是矩形”假命题,反例:等腰梯形
逆否命题“若四边形的对角线不相等,则该四边形不是矩形”真命题.
19. 在三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求三棱锥V-ABC的体积.
参考答案:
(1)证明:因为O,M分别为AB,VA的中点,
所以OM∥VB.---------------------- 3分
又因为,所以VB∥平面MOC.---------------------- 5分
(2)证明:因为AC=BC,O为AB的中点,所以OC⊥AB.
又因为平面VAB⊥平面ABC,且OC平面ABC,
所以OC⊥平面VAB.
所以平面MOC⊥平面VAB.-------------- --------8分
(3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=,
所以AB=2,OC=1.
所以等边三角形VAB的面积S△VAB=----------------------9分
又因为OC⊥平面VAB,
所以三棱锥C-VAB的体积等于OC·S△VAB=.
又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等,所以三棱锥V-ABC的体积为.-----------------------12分
20.
参考答案:
21. 如图,半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动,每分钟转动4圈,水轮圆心O距离水面2m,如果当水轮上点P从离开水面的时刻(P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度y(m)与时间t(s)满足的函数关系;
(2)求点P第一次到达最高点需要的时间.
参考答案:
【考点】在实际问题中建立三角函数模型.
【分析】(1)设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系,利用周期求得ω,当t=0时,y=0,进而求得φ的值,则函数的表达式可得.
(2)根据正弦函数的图象和性质可得t=5+15k(k∈Z)即当k=0时,即t=5(s)时,点P第一次达到最高点.
【解答】解:(1)以O为原点建立如图所示的直角坐标系.
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动,可设点P到水面的距离y(m)与时间t(s)满足函数关系,
∵水轮每分钟旋转4圈,
∴.
∴.
∵水轮半径为4 m,
∴A=4.
∴.
当t=0时,y=0.
∴.
∴.
(2)由于最高点距离水面的距离为6,
∴.
∴.
∴.
∴t=5+15k(k∈Z).
∴当k=0时,即t=5(s)时,点P第一次达到最高点.
22. (本小题满分10分) 已知函数
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若不等式的解集为R,求实数的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ)当时,,由
得, 即; 。。。。。。。。(3分)
即为所求 。。。。。。 (5分)
(Ⅱ)由不等式的解集为R,知。。。。。。。。(8分)
即为所求 。。。。。。。。。(10分)
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