湖北省荆州市章庄铺中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆州市章庄铺中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若点(a，b)在直线 b 上．则角C的值为 A.              B.                C.               D． 参考答案： D 略 2. 已知复数，的共轭复数为则，则（    ） A．        B．           C．           D．  0 参考答案： B ，所以。 3. 参考答案： A  由题意知，对称轴x＝1－a≥4，∴a≤－3. 4. 已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： A 5. 过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（xA＞xB），则=（　　） A． B． C．3 D．2 参考答案： D 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα= |AB|=x1+x2+p=， ∴x1+x2==， 又x1x2=2可得x1=2，x2=， ∴==2． 故选D． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题． 6. 已知定义域为的函数满足：(1)对任意，恒有成立；(2)当时，.给出以下结论： ①对任意，有； ②对任意，不等式恒成立； ③存在，使得； ④“函数在区间上单调递减”的充要条件是存在，使得 . 其中所有正确结论的序号为 A.①②③       B.②③④     C.①②④      D.①②③④ 参考答案： C 略 7. 某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（　　） A．2π B．4π C．5π D．20π 参考答案： C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球，进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥， 其外接球相当于以俯视图为底面，高为1的三棱柱的外接球， 底面的外接圆半径r=1， 球心到底面的距离d=， 故几何体的外接球半径， 故几何体的外接球表面积为：S=4πR2=5π， 故选：C 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 　 8. 设是直线，a，β是两个不同的平面 A. 若∥a，∥β，则a∥β         B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β         D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β 参考答案： B 根据线面垂直的判定和性质定理可知，选项B正确。 9. 已知，则的值为 A．         B．          C．        D．  参考答案： D 10. 已知函数，则下列判断中正确的是(    ) A．奇函数，在R上为增函数    B．偶函数，在R上为增函数 C．奇函数，在R上为减函数    D．偶函数，在R上为减函数 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，，则的最小值是          ． 参考答案： ∵，∴≥2=2，当且仅当，即x=时，等号成立，故y的最小值是2   12. 设向量的夹角为，且，则          ． 参考答案：   13. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知F1、F2是一对“黄金搭档”的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是　　． 参考答案： 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果． 解答： 解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c， 由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°， 即4c2=m2+n2﹣mn， 设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴， 由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2， ∴m=a1+a2，n=a1﹣a2， 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a12﹣4a1a2+a12=0， a1=3a2，e1?e2==1， 解得e2=． 故答案为：． 点评： 本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“黄金搭档”的含义． 14. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为　　． 参考答案：   【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体， 正方体的体积为：2×2×2=8， 四棱锥的体积为：×2×2×2=， 故组合体的体积V=8﹣=， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档． 　 15. 现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种. 参考答案： 180 【分析】 由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分4步进行分析： 对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况； 对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况； 对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 则不同的着色方法有5×4×3×3=180种 16. 已知函数则=     参考答案： 17. 函数（）的反函数是    . 参考答案： ， 由得，所以。当时，，即，（）。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）2+y2=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点． （1）求椭圆的方程； （2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题：计算题；综合题． 分析：（I）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得． （II）P（x0，y0），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x0的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x0和y0的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当时，|MN|取得最大值，进而求得y0，则P点坐标可得． 解答： 解：（I）∵圆（x﹣1）2+y2=1的圆心是（1，0）， ∴椭圆的右焦点F（1，0）， ∵椭圆的离心率是，∴ ∴a2=2，b2=1，∴椭圆的方程是．   （II）设P（x0，y0），M（0，m），N（0，n）， 由得，∴． 直线PM的方程：， 化简得（y0﹣m）x﹣x0y+x0m=0． 又圆心（1，0）到直线PM的距离为1， ∴， ∴（y0﹣m）2+x02=（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+x02m2， 化简得（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0， 同理有（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0． ∴，， ∴=． ∵P（x0，y0）是椭圆上的点，∴， ∴， 记，则，时， f'（x）＜0；时，f'（x）＜0， ∴f（x）在上单调递减，在内也是单调递减， ∴， 当时，|MN|取得最大值， 此时点P位置是椭圆的左顶点． 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力． 19. 已知数列{an}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根． （1）求数列{an}的前n项和Sn； （2）在（1）中，设bn=，求证：当c=﹣时，数列{bn}是等差数列． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定． 【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{an}的通项公式； （2）先化简bn，再利用定义证明即可． 【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5， ∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根 ∴以a1=1，a2=5， ∴{an}等差数列的公差为4， ∴=2n2﹣n； （2）证明：当时， =， ∴bn+1﹣bn=2（n+1）﹣2n=2， ∴{bn}是以2为首项，公差为2的等差数列． 20. 已知椭圆（）的离心率为，且经过点. （1）求椭圆C的方程； （2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 参考答案： (1) (2)见解析 【分析】 （1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可. 【详解】(1)由题意可得，，又， 解得，. 所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称. 设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，. 设，，定点.(依题意 则由韦达定理可得，，.  直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数.  所以，，即得. 又，， 所以，，整理得，. 从而可得，， 即， 所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题. 21. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对1号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金，在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：；（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示． （Ⅰ）写出列联表；判断是否有的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（如表的临界值表供参考） 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841111] 6.635 7.879   （Ⅱ）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中恰好有一人在