湖北省荆门市李市中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析

湖北省荆门市李市中学2022-2023学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 给出下列结论：①命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”； ②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件； ③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件． 其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 参考答案： A 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误． 【解答】解：对于①，命题“?x∈R，sinx≠1”的否定是“?x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确． 对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确； 对于③，数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以③不正确； 故选：A． 2. 奇函数上的解析式是的函数解析式是（    ）     A．                     B．     C．                     D． 参考答案： B 略 3. 若双曲线的右支上一点P（a,b）到直线y=x的距离为，则a+b 的值是（     ）      A、         B、          C、           D、 参考答案： 答案：B 错解：C 错因：没有挖掘出隐含条件 4. 已知命题：，则                                        A.   B.    C.   D.   参考答案： C 略 5. 把11化为二进制数为（     ） A．1011（2）     　　　　　  B． 11011（2）   　　　　　　　　    C． 10110（2）   　　    D．110（2） 参考答案： A 略 6. 三个数、、的大小顺序是（     ） A.          B.     C.            D. 参考答案： B 略 7. 如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为 A．      B．2         C．      D．     参考答案： D 8. 设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，则+的最小值为（　　） A． B． C． D．4 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12，即．然后利用“1”的代换，结合基本不等式求得最值． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（6，8）， 化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为， 由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12． ∴． 则+=（）（）=． 当且仅当a=b=时上式等号成立． 故选：A． 9. 复数为虚数单位)的共轭复数 (    ) A.      B.      C.     D. 参考答案： C 10. 如右图，四棱锥-的底面为正方形，,则下列结论中不正确的是（  ）                                 Ａ.       B. 与所成的角等于与所成的角 C.   D. 与所成的角等于与所成的角 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果关于的不等式和的解集分别为和,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式 为对偶不等式,且,则=_______________. 参考答案： 12. 设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=　    　． 参考答案： 16 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的焦点坐标判断双曲线的焦点位置是解决本题的关键，利用双曲线标准方程中的分母与焦点非零坐标的关系，列出关于m的方程，通过解方程求出m的值． 【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点， 故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0． 从而得出m+9=25，解得m=16． 故答案为：16． 13. 已知数列{an}，“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝3x＋2上”是“{an}为等差数列”的(　　) A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件   C．充要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 14. 在△ABC中，分别为三个内角A , B ,C所对的边，设向量，若，则角 A 的大小为            参考答案： 60 15. 平面上三条直线，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数的取值集合为            ． 参考答案： 16. 将一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC组成，它们两两成600角。则水晶球的球心到支架顶点P的距离是  ___________________。 参考答案： 略 17. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，则X数学期望为　　． 参考答案： 1.8 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差． 【分析】求出产品指标落在各区间的产品个数，得出一件产品的质量指标落在区间[45，75）内的概率，利用二项分布的数学期望公式计算． 【解答】解：质量指标落在[55，85]的产品件数为100×[1﹣（0.004+0.012+0.019+0.030）×10]=35， ∴质量指标落在[55，65），[65，75），[75，85]内的产品件数分别为20，10，5， 又质量指标落在[45，55]的产品件数为100×0.030×10=30， ∴质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为30+20+10=60， ∴从该企业生产的这种产品中随机抽取1件，这件产品质量指标值位于区间[45，75）内的概率为=0.6． ∴X～B（3，0.6）， ∴X的数学期望为3×0.6=1.8． 故答案为：1.8． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题8分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设求数列的前项和. 参考答案： （I）设构成等比数列，其中则    ①，       ② ①×②并利用 （II）由题意和（I）中计算结果，知 另一方面，利用 得所以 略 19. （10分）已知数列。 （1）求； （2）试归纳出该数列的通项公式。 参考答案： （1）             （2） 20. 在等比数列中，. （Ⅰ）求数列通项公式； （Ⅱ）若，数列的前项和为，且，求的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则       解之，得．        ∴．  （Ⅱ）． ∵， ∴是首项为，公差为2的等差数列． ∴.                ∴，∴或（舍去）． 因此，所求．    略 21. 在△ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，且asinB﹣bcosA=0， （1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）由已知利用正弦定理得： sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值． （2）由余弦定理，平方和公式可得bc=，结合基本不等式可得b+c≤+（当且仅当b=c时取等号），即可得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）asinB﹣bcosA=0，即为asinB=bcosA， 代入正弦定理得： sinAsinB=sinBcosA，… 又0＜B＜π，sinB≠0， ∴sinA=cosA，即tanA=，… 又0＜A＜π， ∴A=．… （2）由余弦定理得cosA=，即cos=， 化简得， bc+1=b2+c2，… ∵b2+c2=（b+c）2﹣2bc， ∴bc+1=（b+c）2﹣2bc， ∴bc=，… ∵bc≤（）2， ∴≤，当且仅当b=c时取等号成立， 解得（b+c）2≤4（2+）=8+4=（+）2， ∴b+c≤+（当且仅当b=c时取等号），… ∴a+b+c≤1++，（当且仅当b=c时取等号）， ∴△ABC周长的最大值为1++．… 22. 设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值． （1）求a，b的值； （2）求曲线f（x）在x=0处的切线方程． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2时取得极值，可得，由此能求出a，b的值． （2）确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线f（x）在x=0处的切线方程． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c， ∴f′（x）=6x2+6ax+3b， ∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0． 即， 解得a=﹣3，b=4； （2）由（1）得f（x）=2x3﹣9x2+12x+8，f′（x）=6x2﹣18x+12， ∴f（0）=0，f′（0）=12．∴切线的斜率k=12．切点为（0，8） 由直线方程的点斜式得切线方程为：y﹣8=12x，即12x﹣y+8=0．