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湖北省荆门市拾回桥中学2022年高二数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法正确的是( )
①必然事件的概率等于1; ②互斥事件一定是对立事件;
③球的体积与半径的关系是正相关; ④汽车的重量和百公里耗油量成正相关
A、①② B、①③ C、①④ D、③ ④
参考答案:
C
2. 已知i是虚数单位,则复数位于复平面内第几象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
B
【分析】
整理可得:,该复数对应的点在第二象限,问题得解。
【详解】由可得:,
该复数对应的点在第二象限.
故选:B
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及复数对应复平面内的点知识,属于基础题。
3. 过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点,且,那么直线l的斜率为
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知命题p:?x∈R,x+≥2;命题q:?x0∈[0,],使sin x0+cos x0=,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∨(¬q) B.p∧(¬q) C.(¬p)∧(¬q) D.(¬p)∧q
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】判断两个命题的真假,然后利用复合命题的真假判断选项即可.
【解答】解:对于命题p:当x≤0时,x+≥2不成立,∴命题p是假命题,则¬p是真命题;
对于命题q:sinx+cosx=sin(x+)∈[1,],则q是真命题,
所以(¬p)∧q.
故选:D.
5. 点(-1,2)关于直线y =x -1的对称点的坐标是
(A)(3,2) (B)(-3,-2)
(C)(-3,2) (D)(3,-2)
参考答案:
D
因为解:设对称点的坐标为(a,b),由题意可知,
解得a=3,b=-2,所以点(-1,2)关于直线 y=x-1的对称点的坐标是(3,-2)
故选D
6. 设随机变量X等可能地取值1,2,3,…,10.又设随机变量Y=2X-1,则P(Y<6)的值为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.1 D.0.2
参考答案:
A
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,则此人第二天走的路程为( )
A. 96里 B. 189里 C. 192里 D. 288里
参考答案:
A
【分析】
设此人第一天走的路程为x,则,求出x即得解.
【详解】设此人第一天走的路程为x,则
,
解之得,
所以,所以第二天走的路程为96.
故选:A.
【点睛】本题主要考查等比数列求和,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8. 直线被椭圆所截得弦的中点坐标为( )
A B C D
参考答案:
D
略
9. b=0 是函数 为偶函数的( )条件
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
参考答案:
C
略
10. 复数,其中i是虚数单位,则复数z的虚部为( )
A. -1 B. -2 C. D.
参考答案:
A
【分析】
根据复数除法运算求得,从而求得虚部.
【详解】
复数的虚部为
本题正确选项:
【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 对于抛物线上任意一点,点都满足,则的取值范围是____。
参考答案:
解析:设,由得
恒成立,则
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+ y2 = 16相切,则p的值为 .
参考答案:
2
13. 已知集合,,则 .
参考答案:
14. 设A、B两点到平面α的距离分别为2与6,则线段AB的中点到平面α的距离为
参考答案:
4或2
略
15. 已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E、F分别在边BC、DC上,=λ, =μ.若=1,,则λ+μ= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的基本定理及其意义.
【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义,由?=1,求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①;再由?=﹣,求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.结合①②求得λ+μ的值.
【解答】解:由题意可得若?=(+)?(+),
=?+?+?+?
=2×2×cos120°+?μ+λ?+λ?μ
=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1,
∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①.
?=﹣?(﹣)=?=(1﹣λ)?(1﹣μ)
=(1﹣λ)?(1﹣μ)
=(1﹣λ)(1﹣μ)×2×2×cos120°=(1﹣λ﹣μ+λμ)(﹣2)=﹣,
即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②.
由①②求得λ+μ=,
故答案为:.
16. 在底面是正方形的长方体中,,则异面直线与所成角的余弦值为 .
参考答案:
17. 若为不相等的两个正数,则 (用>,<,=连接)
参考答案:
>
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 用秦九韶算法求多项式
当时的值。写出其算法,写出相应的程序语句.
参考答案:
19. 直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点。
(1)若线段的长度为9,求直线的方程;
(2)求证:坐标原点始终在以为直径的圆内部。
参考答案:
(1)设直线为,联立;…2分
可得,而,所以直线为;………………………………………………………………………………5分
(2)只需证即可。设,。…………8分
,代入韦达定理,可得,另外当直线斜率不存在时,显然圆心为焦点,半径为4,原点到圆心的距离为2,仍有原点在以为直径的圆内,命题得证。…………………………12分
略
20. (10分)过点C(0,)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(﹣a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与BD交于点Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(3)当点P异于点B时,求证:?为定值.
参考答案:
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由过点C(0,)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆的方程.
(2)椭圆的右焦点为(,0),直线l的方程为y=﹣x+,代入椭圆方程化简,得,由此能求出|CD|.
(3)当直线l与x轴垂直时,与题意不符.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+,(k≠0,且k≠),代入椭圆方程,化简得(2k2+1)x2+4=0,求出D(),从而得到kBD,进而求出直线BD的方程,再由直线AC的方程联立,求出Q(﹣2,2k+),由l方程得P(﹣,0),由此能证明?为定值.
【解答】解:(1)∵过点C(0,)的椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,
∴,解得a=2,b=,c=,
∴椭圆的方程为.
(2)椭圆的右焦点为(,0),
此时直线l的方程为y=﹣x+,
代入椭圆方程化简,得,
解得,
代入直线l的方程,得,y2=﹣,
∴|CD|==.
证明:(3)当直线l与x轴垂直时,
∵椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(﹣a,0),∴AC∥BD,与题意不符.
设直线l的方程为y=kx+,(k≠0,且k≠),
代入椭圆方程,化简得(2k2+1)x2+4=0,
解得,
代入直线l的方程,得,,
∴D(),
∴kBD===
==,
∴直线BD的方程为y=(x+2),
又直线AC的方程为,
联立,得,∴Q(﹣2,2k+),
又由l方程得P(﹣,0),
∴=(﹣)?(﹣2,2k+)=4
21. (本题10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),若以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为,求直线曲线C所截得的弦长。
参考答案:
略
22. 如图,一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房,半径为1,点P 是花草房弧上一个动点,不含端点,现打算在扇形BOP 内种花,PQ⊥OA,垂足为Q,PQ 将扇形AOP
分成左右两部分,在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区,在PQ 右侧部分种草,已知种花的单位面积的造价为3a,种草的单位面积的造价为2a,其中a 为正常数,设∠AOP=θ,种花的造价与种草的造价的和称为总造价,不计观赏区的造价,设总造价为f(θ)
(1)求f(θ)关于θ 的函数关系式;
(2)求当θ 为何值时,总造价最小,并求出最小值.
参考答案:
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;扇形面积公式.
【分析】(1)分别求出种花区的造价,种草区的造价,即可得到f(θ)关于θ 的函数关系式,
(2)先求导,再根据导数和函数的最值得关系即可求出答案.
【解答】解:(1)种花区的造价为,种草区的造价为,
故总造价f(θ)=(﹣θ)+(﹣sinθcosθ)2α=(﹣﹣sinθcosθ)α,0<θ<
(2)=
令f'(θ)=0,得到
θ
f'(θ)
_
0
+
f(θ)
递减
极小值
递增
故当时,总造价最小,且总造价最小为
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