湖北省荆门市沙洋县实验高级中学高三数学文下学期期末试题含解析

湖北省荆门市沙洋县实验高级中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在复平面内，点M表示复数z，则z的共轭复数对应的点是 A．M B．N C．P D．Q 参考答案： C 略 2. △ABC外接圆的半径为，圆心为，且，，则 的值是 （A） 3           （B） 2           （C） 1           （D） 0 参考答案： A 3. （00全国卷）若，P=，Q=，R=，则 （A）RPQ （B）PQ R   （C）Q PR             （D）P RQ 参考答案： 答案:B 4. 已知两条直线： ， ： 平行，则a=（     ） A. -1 B. 2 C. 0或-2 D. -1或2 参考答案： D 试题分析：由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a． 解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在， 又∵l1∥l2， ∴， ∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等， 所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行． 故选D． 点评：本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．   5. 在一次马拉松决定中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 13 14 15 0  0  3  4  5  6  6  8  8  8 1  1  1  2  2  2  3  3  4  4  5  5  5 0  1  2  2  3  3  3 若将运动员按成绩由好到差编为1～30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 6. 设变量满足约束条件，则的取值范围是（　　） A．        B．        C ．        D．  参考答案： D 7. 已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，，则A∩B=（　　） A． B．（0，1） C． D． 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】先分别出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}， ={x|0＜x＜}， ∴A∩B={x|0＜x＜}=（0，）． 故选：A． 8. 已知函数，则不等式的解集为（     ） A. B C. D. 参考答案： C 略 9. 设函数，且函数f（x）为偶函数，则g（﹣2）=（　　） 　 A． 6 B． ﹣6 C． 2 D． ﹣2 参考答案： A 略 10. 先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数）， 所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是 A.              B.              C.               D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 展开式中的常数项是32，则实数           ； 参考答案： -2 ，由，所以。 12. 5人随机站成一排，甲乙两人不相邻的概率是　　． 参考答案： 考点： 古典概型及其概率计算公式．  专题： 概率与统计． 分析： 首先考虑5人随机站成一排，再用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法，由古典概型的概率计算公式即可得到答案． 解答： 解：5人随机站成一排的排法有A55=120种， 而求甲、乙两人不相邻的排法，可分两个步骤完成，第一步骤先把除甲乙外的其他三人排好，有A33种排法， 第二步将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中，有A42种， 则甲、乙两不相邻的排法有A33A42=72种， 故5人随机站成一排，甲乙两人不相邻的概率是=． 故答案为：． 点评： 此题主要考查排列组合及简单的计数问题以及古典概型的概率计算公式，题中应用到插空法，这种思想在求不相邻的问题中应用较广，需要同学们多加注意． 13. 已知＝1－mi，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m的值为＿＿＿＿ 参考答案： 2 14. 已知函数，其图象在点处的切线方程为__________，则它在点处的切线方程为__________． 参考答案： ， ∵在点处的切线方程为， ∴，且， 由题易得，， ∴，且， ∴点处切线方程为， 即． 15. 函数 参考答案： 16. 在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是　　　　　　　． 参考答案： 17. 定义行列式运算  ，将函数  的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知. （1）讨论函数的单调区间； （2）若存在极值且，求实数a的取值范围； （3）求证：当时，. 参考答案： （1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】 （1）对求导，判断何时大于0，何时小于0. （2）由≥0在恒成立，所以，利用（1）确定的最小值，建立关于a的不等式. （3）要证不等式在x>1成立，即证在x>1成立，即证，对F（x）求导，求F(x)的极小值，再确定F(x)的最小值. 【详解】（1）， 若时，恒成立，∴函数的单调增区间为，无单调减区间. 若时，令，得， ∴函数的单调增区间为，减区间为. （2）∵存在极值，由（1）知, 又，∴， ∴. （3）设，故，∴. ∵，∴.∴在上为增函数. 又在上连续，，∴在上恒成立.∴. 故当时，. 【点睛】判断函数的单调性可利用导数，对求导，判断在=0的解的左右两侧的导数的正负，确定函数的单调区间.不等式恒成立问题一般先考虑转化为函数的最值问题，先求相应函数的最值，得所求参数的范围或不等式. 19. (本小题满分14分)    已知函数. (Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程； (Ⅱ)求函数在区间上的最小值； (Ⅲ)若关于的方程在区间内有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 参考答案： 解：(Ⅰ) ∵，∴，， ∴所求的切线方程为.                …………………………3分 (Ⅱ).由得. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； ①当，即时，在上为增函数，； ②当，即时，在上为减函数，在上为增函数，； ③当，即时，在上为减函数，. …………………………8分 综上所述，.           ……………………………9分 (Ⅲ)∵，方程在上有两个不相等的实数根， 即方程在上有两个不相等的实数根. 令，则，  令，得(舍去)，，因此在内是减函数，在内是增函数，因此，方程在内有两个不相等的实数根，只需方程在和内各有一个实根， 于是，解得； ∴的取值范围是.                      …………………………14分 略 20. (理)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边, . (1)求角A的度数； (2)若a=，b+c=3，求b和c的值. 参考答案： 21. 已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=． （1）求p的值； （2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数． 参考答案： 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=； （2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣． 【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p， 又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=， ∴p的值； （2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x， 当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣）， 则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=， ∴kAM?kBM=×=﹣． 当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=， kAM?kBM=?=，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3）， 联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0， ∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣， 故kAM?kBM===﹣， 综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣． 22. 已知函数f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数， （1）实数m的取值集合为A，当m取值集合A中的最小值时，定义数列{an}；满足a1=3，且＞0，，求数列{an}的通项公式； （2）若，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：． 参考答案： 解：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m， ∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数， ∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立， 即m≥3x2，得m≥3， 故所求的集合A为[3，+∞）； 所以m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3， ∵，an＞0， ∴，即=3， ∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列， 故an=3n； （2）由（1）得，bn=nan=n?3n， ∴Sn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n        ① 3Sn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1      ② ①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1 化简得，Sn=． 略