湖北省荆门市城乡高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析

湖北省荆门市城乡高级中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 （     ） A.(1,3]       B.[1,3]       C.(－1,3]        D.[－1,3] 参考答案： B 2. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（   ） A. B. C. D. 32 参考答案： B 该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 3. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）   A．          B．    C．          D． 参考答案： B 略 4. 已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（　　） 附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974． A．6038 B．6587 C．7028 D．7539 参考答案： B 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论． 【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587， 则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587． 故选：B． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题． 5. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（   ） A.向右平移  B.向左平移  C.向右平移 D.向左平移 参考答案： C 6. 如图是一个几何体在网格纸上的三视图，若面积最小网格均是边长为1的小正方形，则该几何体的体积为（　　） A．6 B．8 C．12 D．16 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥； 根据图中数据求出它的体积． 【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥； 根据图中数据，计算它的体积为 V=×2×6×3=12． 故选：C． 　 7. 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（　　） A．（2012，+∞） B．（0，2012） C．（0，2016） D．（2016，+∞） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g（x）在（0，+∞）为增函数，由（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0得到g（x﹣2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案 【解答】解：令g（x）=x2f（x）， ∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）， ∵2f（x）+x2f′（x）＞0， ∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立， ∴g（x）在（0，+∞）为增函数， ∵（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0， ∴（x﹣2014）2f（x﹣2014）＞4f（2）， ∵g（2）=4f（2）， ∴g（x﹣2014）＞g（2） ∴， 解得x＞2016， 故选D． 【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键． 8. 从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为(     ) (A)        　(B)       (C)    　　 (D) 参考答案： B 略 9. 下列函数中与函数相等的是 (A)     (B)     (C)   (D)  参考答案： C 10. 已知函数①②；③④其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一一个自变量，使成立的函数是（    ） A．①②④     B．②③         C．③                  D．④ 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于=      参考答案： 1 略 12. 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是　    　． 参考答案： 8 【考点】HW：三角函数的最值；HX：解三角形． 【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，进而得到tanB+tanC=2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值． 【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC， 可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，① 由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0， 在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC， 又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②， 则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC， 由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣， 令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0， 由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1， tanAtanBtanC=﹣=﹣， =（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0， 因此tanAtanBtanC的最小值为8， 另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC， sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC， 两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC， ∵﹣tanA=tan（B十C）=， ∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC， ∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2， 令tanAtanBtanC=x＞0， 即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8． 当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2， 解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角． 13. 若正数满足,则的最大值为             。 参考答案： 14. 函数的定义域为        . 参考答案： （ 15. .已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为 A . 3              B.  1            C. 2          D. 4  参考答案： C 略 16. 函数f（x）=2x+3x（﹣1≤x≤2）的最大值是           ． 参考答案： 13 考点：函数的最值及其几何意义；指数函数的单调性与特殊点． 专题：计算题． 分析：直接利用指数函数的单调性以及两个增函数的和为增函数判断出f（x）单增，从而在端点处求出函数的最大值． 解答： 解：∵y=2x与y=3x都是增函数 ∴f（x）=2x+3x为增函数 ∴当x=2时，f（x）有最大值f（2）=4+9=13 故答案为：13 点评：本题主要考查了函数的单调性，解题的关键是f（x）在R上增，g（x）在R上增，则f（x）+g（x）在R上增，属于基础题． 17. 设等差数列满足，公差. 若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是      ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 袋中有黑球和白球共6个，从中任意取2个球，都是白球的概率为0.4. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球，甲先取乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数.    （1）求袋中原有白球的个数；   （2）求随机变量ξ的概率分布及期望，并求甲取到白球的概率. 参考答案： 解析:（1）设袋中原有n个白球，由题意知：即有4个白球. （2）由题意知，ξ的可能取值为1，2，3， 故P（ξ=1）= 所以取球次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P（ξ） 所以   …………10分 记“甲取到白球”为事件A， 则P（A）=P（ξ=1或ξ=3）=P（ξ=1）+P（ξ=3）=  …………12分 19. 已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3， a4，a5成等差数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{}的前n项和Sn，求证：Sn＜3． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 【分析】（1）由已知列关于公比q的方程组，求解得到q值，则等比数列的通项公式可求； （2）把{an}的通项公式代入数列{}，利用错位相减法求其和，可得Sn＜3． 【解答】（1）解：由，得， 而q≠0，得3q2﹣10q+3=0，解得q=或q=3． ∵数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列， ∴q=3，则； （2）证明：由， ∴，① ∴，② ①﹣②得： =， 得＜3． ∴Sn＜3． 20. 如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH． （1）求证：AB∥GH； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值． 参考答案： 解：（1）∵，，，分别是，，，的中点，   ∴，，    ∴， 又∵平面，平面， ∴平面，  又∵平面，平面平面，     ∴， 又∵，∴；          （2）在中，∵，，∴，即， 又∵平面，∴，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，， ∴，，      设平面的一个法向量为， 由，，得，取，得，    又∵为平面的一个法向量， ∴， 故平面与平面所成角的正弦值为．   略 21. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为． （1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系； （2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程． 【专题】综合题．