湖北省荆州市胡集中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析

湖北省荆州市胡集中学2023年高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知数列{an}，如果是首项为1公比为2的等比数列，那么an=（    ） A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n +1 参考答案： B   略 2. 已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（   ） A．(－∞,2)       B．       C. (－∞,2]         D． 参考答案： B 3. 设，则数列的最大项为 A． 5        B. 11        C. 10或11      D. 36 参考答案： D 4. 若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…a2000x2000，则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为 (A)3333          (B)3666           (C)3999           (D)32001   参考答案： C 5. 某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（    ） A. 至少有1个深度贫困村 B. 有1个或2个深度贫困村 C. 有2个或3个深度贫困村 D. 恰有2个深度贫困村 参考答案： B 【分析】 用表示这3个村庄中深度贫困村数，则服从超几何分布，故，分别求得概率，再验证选项. 【详解】用表示这3个村庄中深度贫困村数，服从超几何分布， 故， 所以， ， ， ， . 故选：B 【点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题. 6. 过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 设过直线上一点作圆切线， 圆心． ∵直线，关于对称， ∴直线与垂直， 点到直线的距离， 又∵圆的半径为， ，与直线的夹角均为， ∴与夹角为． 故选． 7. 在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为（   ）   A.        B.1         C.4          D.2 参考答案： D 略 8. 下列四组中的，，表示同一个函数的是(     )． A．＝1，＝         B．＝，＝2lgx C．＝x2，＝         D．＝，＝ 参考答案： D 略 9. ，，则t1，t2，t3的大小关系为（　　） A．t2＜t1＜t3 B．t1＜t2＜t3 C．t2＜t3＜t1 D．t3＜t2＜t1 参考答案： A 【考点】67：定积分． 【分析】利用微积分基本定理即可得出大小关系． 【解答】解：t1=dx==， ==ln2， ==e2﹣e． ∴t2＜t1＜t3， 故选：A． 10.  已知数列为等比数列，若，则等于                                                 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 把53名同学分成若干小组，使每组至少一人，且任意两组的人数不等，则最多分成        个小组. 参考答案： 9 ∵， 又， ∴， 即将8个人从第二组开始每组分1人，从而得到第一组1人，第二组3人，第三组4人，……，第九组10人，由此可得至多可以分为9个组．   12. 已知的三边成等差数列，且，则的最大值是   ▲   . 参考答案： . 13. 三棱柱中，若°，，则异面直线 与所成的角等于          。 参考答案： 600 14. 若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________． 参考答案： 15. 已知函数满足: 对任意正数，有，且． 请写出一个满足条件的函数，则这个函数可以写为＝     （只需写出一个函数即可）. 参考答案： 略 16. 设数列的前项和为，则               . 参考答案： 1007 17. 若函数f（x）=在区间（0，2）上有极值，则a的取值范围是　    　． 参考答案： （﹣1，1） 求出函数的导数，求出函数的极值点，得到关于a的不等式，解出即可． 解：f′（x）=， 令f′（x）＞0，解得：x＜a+1， 令f′（x）＜0，解得：x＞a+1， 故f（x）在（﹣∞，a+1）递增，在（a+1，+∞）递减， 故x=a+1是函数的极大值点， 由题意得：0＜a+1＜2，解得：﹣1＜a＜1， 故答案为：（﹣1，1）． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的长轴为4，短轴为2． (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)直线与椭圆交于两点，若点是线段的中点，求直线的方程． 参考答案： (Ⅰ)因为，,所以 ，， 则椭圆方程. （Ⅱ）因为，得， 又因为，，解得：. ， 则 直线方程. 19. 如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A为BE的中点，将△EDA沿AD折到△PDA位置（如图2），使得PA⊥平面ABCD，连接PC、PB，构成一个四棱锥P﹣ABCD． （Ⅰ）求证AD⊥PB； （Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）推导出ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，从而AD⊥平面PAB，由此能证明AD⊥PB． （Ⅱ）以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小． 【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，∵AB∥CD，AB=CD， ∴ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∵∠B=90°，∴AD⊥BE， 当△EDA沿AD折起时，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA， 又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB， 又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB． （Ⅱ）解：①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）， =（1，1，﹣1），=（0，1，0），=（1，0，0）， 设平面PBC的法向量为=（x，y，z）， 则，取z=1，得=（1，0，1）， 设平面PCD的法向量=（a，b，c）， 则，取b=1，得=（0，1，1）， 设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ， 则cosθ=﹣=﹣，∴θ=120°． ∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°． 20. （本小题满分12分）已知数列的前项n和为且有， (Ⅰ)求数列的通项公式； （Ⅱ）令求数列的前项n和. 参考答案： (1)由得）……………2分       数列是以2为首项为公比的等比数列   =………………………………………………5分 （2） …………………………………………6分             ①……………8分        ② ①-②得               =…………………………11分    ………………12分 21. （7分）已知命题命题若命题是真命题，求实数的取值范围. 参考答案： 略 22. (本小题满分10分)过点且平行于直线的直线与两坐标轴围成 的三角形面积为，求的值. 参考答案： 解析：由题意知，即，又过点且平行于直线 的直线方程可写为，此直线与轴的交点为，与轴的交 点为，由已知条件，得，解得. 略