湖北省荆州市米积台镇中学高一数学理联考试卷含解析

湖北省荆州市米积台镇中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得， 则的值为  （    ）                                                            A.10         B.6          C.4             D.不存在 参考答案： B 2. 下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点（如图1），将线段围成一个正方形，使两端点恰好重合（如图2），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在轴上，点的坐标为（如图3），若图3中直线与轴交于点，则的象就是，记作.               现给出以下命题： ①  ；                                                ②的图象关于点对称； ③在区间上为常数函数；           ④为偶函数. 其中正确命题的个数有(　　) A.                             B.                      C.               D. 参考答案： C 3. 已知，则(  ) A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用诱导公式和倍角公式，，即可求解. 【详解】由，得，得 答案选A 【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式，记准公式，正确计算是解 题的关键. 4. 若那么的值为    （    ） A．－1              B．1                            C．0                                     D． 参考答案： A 5. 函数的零点所在的大致区间是（      ） A.           B.            C.        D. 参考答案： B 6. 在区间[－3,3]上随机取一个整数x，则使得成立的概率为(    ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 把对数不等式解出来，再利用古典概型。 【详解】由题意可得 所以 【点睛】本题考查对数不等式的解法，古典概型问题，属于基础题。 7. 某学校高一年级有35个班，每个班的56名同学都是从1到56编的号码，为了交流学习经验，要求每班号码为14的同学留下进行交流，这里运用的是(　　)   A．分层抽样  B．抽签抽样 C．随机抽样  D．系统抽样 参考答案： D 略 8. 设集合，集合＝正实数集，则从集合到集合的映射只可能是（  ） A．                  B． C．                   D． 参考答案： C 9. 一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为（　　） A．8+ B．8+ C．8+ D．8+ 参考答案： A 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图知几何体的下部是边长为2正方体，上部是球，且半球的半径为1，代入体积公式求出正方体的体积与球的体积相加． 【解答】解：由三视图知几何体的下部是边长为2正方体，上部是球，且半球的半径为1， ∴几何体的体积V=V正方体+=23+××π13=8+． 故选A． 10. 直线截圆得的劣弧所对的圆心角是 （    ） A.      B.     C.     D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则的最小值是(　　) A. 4       B. 3       C. 2      D. 1 参考答案： A 12. 某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A,B     两项都不参加的人数比A,B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加    B项的有    人. 参考答案： 9 略 13. 已知数列的通项公式为，则前10项和        ； 参考答案： ； 14. 若集合，且，则实数的取值范围为          参考答案： 略 15. 下列四个命题： （1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数； （2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a＞0； （3）y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1，+∞）和[﹣1，0]； （4）y=1+x和y=表示相等函数． 其中结论是正确的命题的题号是         ． 参考答案： （3） 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】分类讨论；定义法；简易逻辑． 【分析】（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，只能说函数的增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞） （2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则△＜0，a≠0，或a=0，b=0； （3）y=x2﹣2|x|﹣3为偶函数，当x＞0时，y=x2﹣2x﹣3，先判断其单调性，再利用偶函数性质求原函数的单调性； （4）y==|1+x|． 【解答】解：（1）函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，只能说函数的增区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），但在定义域内不一定是增函数，故错误； （2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2﹣8a＜0且a≠0或a=0，b=0； （3）y=x2﹣2|x|﹣3为偶函数，当x＞0时，y=x2﹣2x﹣3可知在（0，1）递减，（1，+∞）递增，由偶函数的性质可知，原函数的递增区间为[1，+∞）和[﹣1，0]，故正确； （4）y==|1+x|，故错误． 故答案为（3）． 【点评】考查了函数单调区间的确定，偶函数的单调性和对参数的分类讨论． 16. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是_____． 参考答案： 10 【分析】 根据平均数和方程列式，然后利用二次函数的判别式小于零，求得样本数据的最大值. 【详解】设五个班级的数据分别为，根据平均数和方差得，，显然各个括号为整数.设分别为，则，设，由已知，则判别式，即，解得，即，所以，即样本数据中的最大值是10. 【点睛】本小题主要考查样本平均数和方差的计算公式，考查样本中数据最大值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17. 若定义运算a?b=，则函数f（x）=x?（2﹣x）的值域是　　． 参考答案： （﹣∞，1] 【考点】函数的值域．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据题意求出f（x）的解析式，再判断出函数的单调性，即可得到答案． 【解答】解：由a?b=得，f（x）=x?（2﹣x）=， ∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数， ∴f（x）≤1， 则函数f（x）的值域是：（﹣∞，1]， 故答案为：（﹣∞，1]． 【点评】本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）设数列满足：，， （1）求证：； （2）若，对任意的正整数，恒成立.求m的取值范围. 参考答案： 解：（1）∵,∴对任意的. ∴即.…………4分 （2）.…7分 ∵∴数列是单调递增数列. ∴数列{}关于n递增. ∴.……………………………10分 ∵，∴ ∴……………………………12分 ∴ ∵恒成立，∴恒成立， ∴……………………………14分 ∴.……………………………16分 略 19. 在平面立角坐标系xOy中，过点的圆的圆心C在x轴上，且与过原点倾斜角为30°的直线l相切. (1)求圆C的标准方程； (2)点P在直线上，过点P作圆C的切线PM、PN，切点分别为M、N，求经过P、M、N、C四点的圆所过的定点的坐标. 参考答案： （1）（2）经过P、M、N、C四点的圆所过定点的坐标为(2,0)、 【分析】 (1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案. (2) 取线段的中点 ，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案. 【详解】(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得 由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为， 由题意有，解得：，， 故圆的标准方程为. (2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆， 设点的坐标为，则点的坐标为 有 则以为直径的圆的方程为：，整理为 可得. 令，解得或， 故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、. 【点睛】本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力. 20. （本小题满分12分） 如图，已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F. （I）证明：SC⊥EF； （II）若求三棱锥S—AEF的体积.                 参考答案： 解：（I）      （II）中， 又  由（I）知 得  由（I）知 略 21. （本小题满分14分） 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域为；那么把（）叫闭函数，且条件②中的区间为的一个“好区间”． （1）求闭函数的“好区间”； （2）若为闭函数的“好区间”，求、的值； （3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数的取值范围． 参考答案： （2）①若是上的增函数，则 此时是上的增函数，故符合题意． ②若是上的减函数，则 此时． 因为，所以在区间上不是减函数， 故不符合题意． 综上：                          ………………………………（8分）     22. （本小题满分12分） 已知向量，点P在轴的非负半轴上（O为原点）. （1）当取得最小值时，求的坐标； （2）设，当点满足（1）时，求的值. 参考答案： （1）设，--------------------------------------------------------1分 则，  ------------------------------------------3分 ∴          ----------------------------------------------5分 ∴当时，取得最小值，此时，  ----------------7分 （2）由（1）知， ＝－6    --------------------------------------------------------10分 ∴   -----------------------------12分