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湖北省荆州市石首团山寺镇长山中学2022年高二数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等比数列中,,,,则( )
A.6 B.7 C. 8 D.9
参考答案:
A
略
2. 已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
参考答案:
B
3. 若恒成立,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则该抛物线的标准方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 甲、乙两类水果的质量(单位:)分别服从正态分布,其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲类水果的平均质量
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数
参考答案:
D
6. 如图,正方体中,是棱的中点,是棱的中点,则异面直线与所成的角为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 设变量满足约束条件,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 已知在等比数列{an}中,a4,a8是方程x2﹣8x+9=0的两根,则a6为( )
A.﹣3 B.±3 C.3 D.2
参考答案:
C
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得a4+a8=8,a4a8=9,进一步得到a4>0,a8>0,再由等比数列的性质得答案
【解答】解:∵在等比数列{an}中,a4,a8是方程x2﹣8x+9=0的两根,
∴a4+a8=8,a4a8=9,
∴a4>0,a8>0,∴a6>0,
∵=9,
∴a6=3.
故选:C.
9. 如图,在棱长为的正方体中,为的中点,为上任意一
点,为上两点,且的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )
(A)点到平面的距离 (B)直线与平面所成的角
(C)三棱锥的体积 (D)的面积
参考答案:
B
考点:空间直线与平面的位置关系及几何体的体积面积的综合运用.
【易错点晴】化归与转化的数学思想是高考所要考查的四大数学思想之一.本题以正方体这一简单几何体为背景,考查的是距离角度体积面积的定值问题的判定方法问题.求解时,首先要搞清楚面积是定值,其次是点到面的距离是个定值;这样就容易判定三棱锥的体积也是定值,从而选填答案B.
10. “|a|>0”是“a>0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】本题主要是命题关系的理解,结合|a|>0就是{a|a≠0},利用充要条件的概念与结合的关系即可判断.
【解答】解:∵|a|>0就是{a|a≠0},
∴a>0?|a|>0,反之,|a|>0不能推出a>0
∴“|a|>0”是“a>0”的必要不充分条件.
故选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. M是抛物线y=4x2+1上的一个动点,且点M是线段OP的中点(O为原点),P的轨迹方程为 .
参考答案:
y=2x2+2
【考点】KK:圆锥曲线的轨迹问题.
【分析】设出P的坐标,求出M的坐标,动点M在抛物线y=4x2+1上运动,点M满足抛物线方程,代入求解,即可得到P的轨迹方程.
【解答】解:设P的坐标(x,y),由题意点M为线段OP的中点,可知M(,),
动点M在抛物线y=4x2+1上运动,所以=4+1,所以y=2x2+2
动点P的轨迹方程为:y=2x2+2.
故答案为:y=2x2+2.
12. 现有2个男生,3个女生和1个老师共六人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两人相邻,则不同的站法种数是 .
参考答案:
24
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分3步进行分析:①、先将2名男生安排在两端,②、将3名女生全排列,排在男生中间,分析排好后的空位,③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位,分析每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分3步进行分析:
①、两端站男生,将2名男生安排在两端,有种情况,
②、将3名女生全排列,排在男生中间,有种顺序,排好后,除去2端,有2个空位,
③、将这1个老师插入3名女生形成的2空位,有2种情况,
根据分步计数原理可得,共有种,
故答案为:24.
13. 已知函数在R上有两个极值点,则实数的取值范围是
参考答案:
14. 若命题“任意的≥0”是假命题,则实数a的取值范围是
参考答案:
略
15. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为 .
参考答案:
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且,若F1关于平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为______.
参考答案:
【分析】
根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形,且轴,设,可得,从而可得结果.
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上,
则,,
为正三角形,,
又,
所以轴,
设,则,
即,故答案为.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率,属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点,一般求离心率有以下几种情况:①直接求出,从而求出;②构造的齐次式,求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
17. 如右图,圆锥中,、为底面圆的两条直径,,且,,为的中点.异面直线与所成角的正切值为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=[2+(﹣1)n]an+2,(n=1,2,3…).
(Ⅰ)求a3,a4,并证明数列{a2n+1}是等比数列;
(Ⅱ)求数列{an}前2n项和S2n.
参考答案:
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(Ⅰ)代入递推关系可得a3,a4.n=2k,a2k+2=3a2k+2,(k=1,2,3,…).变形为a2k+2+1=3(a2k+1),即可证明.
(Ⅱ){an}的通项公式,分组求和,利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)a3=3,a4=8
当n=2k,a2k+2=3a2k+2,(k=1,2,3,…).
变形为a2k+2+1=3(a2k+1),(k=1,2,3,…).
∴数列{a2n+1}是等比数列.
(Ⅱ){an}的通项公式,
,,
.
19. (本小题满分12分)已知函数 (x∈R).
(1)求函数f的最小正周期及单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点,b,a,c成等差数列,且,求a的值.
参考答案:
20. 高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图),并且每一排钉子数目都比上一排多一个,一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两铁钉的间隙,又碰到下一排铁钉.如此继续下去,在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
(Ⅰ)理论上,小球落入4号容器的概率是多少?
(Ⅱ)一数学兴趣小组取3个小球进行试验,设其中落入4号容器的小球个数为X,求X的分布列与数学期望.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)X的分布列见解析,数学期望是
【分析】
(Ⅰ)若要小球落入4号容器,则在通过的四层中有三层需要向右,一层向左,根据二项分布公式可求得概率;(Ⅱ)落入4号容器的小球个数的可能取值为0,1,2,3,算出对应事件概率,利用离散型随机变量分布列数学期望的公式可求得结果.
【详解】解:(Ⅰ)记“小球落入4号容器”为事件,
若要小球落入4号容器,则在通过的四层中有三层需要向右,一层向左,
∴理论上,小球落入4号容器的概率.
(Ⅱ)落入4号容器的小球个数的可能取值为0,1,2,3,
∴,,
,,
∴的分布列为:
0
1
2
3
∴.
【点睛】本题主要考查二项分布及其数学期望的计算,较基础.
21. (本题满分14分)若是公差不为的等差数列的前项和,且,,成等比数列,
(1)求等比数列,,的公比; (2)若,求的通项公式;
(3)设,是数列的前项和,求使得对所有都成立的最小正整数
参考答案:
(1)∵数列{an}为等差数列,∴,
∵S1,S2,S4成等比数列, ∴ S1·S4 =S22 ………………2分
∴ ,∴
∵公差d不等于0,∴ 所以 ………………4分
(2)∵S2 =4,∴,又,∴, ∴ ………………8分
(3)∵
∴… ………………12分
要使对所有n∈N*恒成立,
∴,,∵m∈N*, ∴m的最小值为30 ………………14分
22. 已知圆.
(1)若圆的切线在轴和轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆外一点向该圆引一条切线,切点为,为坐标原点,且有,求使得取得最小值的点的坐标.
参考答案:
解 (1)将圆C整理得(x+1)2+(y-2)2=2.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,
∴圆心到切线的距离为=,
即k2-4k-2=0,解得k=2±.
∴y=(2±)x;
略
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