湖北省荆州市石首新厂高级中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市石首新厂高级中学2023年高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）函数的定义域是（） A． B． C． D． 参考答案： C 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 要使函数的解析式有意义，自变量x须满足1﹣2x≥0，解不等式后，表示为区间形式，可得答案． 解答： 要使函数的解析式有意义 自变量x须满足1﹣2x≥0 即x≤ 故函数的定义域为 故选C 点评： 本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据使函数的解析式有意义的原则，构造不等式是解答的关键． 2. （5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 解答： 其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4， 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部， 面积为=4﹣π， ∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P= 故选：D． 点评： 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值． 3. 已知数列{an}前n项和为，则的值（    ） A. 13 B. -76 C. 46 D. 76 参考答案： B 【分析】 由已知得S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29，S22＝﹣4×11＝﹣44，S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61，由此能求出S15+S22﹣S31的值． 【详解】∵Sn＝1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n+1（4n﹣3）， ∴S15＝﹣4×7+4×15﹣3＝29， S22＝﹣4×11＝﹣44， S31＝﹣4×15+4×31﹣3＝61， ∴S15+S22﹣S31＝29﹣44﹣61＝﹣76． 故选：B． 【点睛】本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n项和公式的合理运用． 4. 正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（　　） A．x=0 B． C． D．x=π 参考答案： C 【考点】正弦函数的图象． 【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可． 【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z， ∴当k=0时，函数的对称轴为， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键． 5. 在中，，则A等于                  （      ） A.            B.          C.           D.   参考答案： C 略 6. 已知，，且，若不等式恒成立，则实数a的范围是（    ） A. (－∞,12] B. (－∞,14] C. (－∞,16] D. (－∞,18] 参考答案： D 【分析】 将已知等式整理为，则，利用基本不等式求得的最小值，则，从而得到结果. 【详解】由得：，即 ，    ， （当且仅当，即时取等号） （当且仅当时取等号） 本题正确选项： 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够利用基本不等式求得和的最小值. 7. 集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（   ） 　　A．轴正半轴上，　　  　         　　B．轴正半轴上， 　　C． 轴或 轴上，　　　 　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上   参考答案： C 8. 若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（   ） A.                        B. C.                        D. 参考答案： C 试题分析：由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C． 考点：三角函数的图象与性质． 【方法点晴】本题主要考查了三角函数的图象与性质，着重考查了三角函数的图象变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的解析式，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理与运算能力． 9. 若向量，，满足，，若，则与的夹角为(    ) A．         B．       C.         D. 参考答案： C 10. 下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是 A、　　　   B、　　　  C、　　   D、 ． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知两点P１（－1，－6）、Ｐ２（3，０），点P（，y）分有向线段所成的比为λ，则λ=____________. 参考答案： －  12. 集合{1,2,3}的非空子集共有__个. 参考答案： 7 【分析】 集合{1,2,3}共三个元素,故用元素个数为的集合的非空子集个数为可得. 【详解】由元素个数为的集合的非空真子集个数为得,集合{1,2,3}的非空子集共有个. 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了元素个数为的集合的非空真子集个数为,属于简单题型. 13. 已知点，点满足，则的最小值是        . 参考答案： 20 略 14. 函数y=cosx+cos（x+）的最大值是            . 参考答案： 略 15. 已知，，则cosα=　　． 参考答案： 【考点】GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】先确定α+的范围，求得cos（α+）的值，进而利用余弦的两角和公式求得答案． 【解答】解：∵，， ∴∈（﹣，）， ∴cos（）==， ∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin==． 故答案为：． 16. 函数的定义域是       . 参考答案： (1,5] 17. 若幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象恒过定点A，直线恒过定点B，则直线AB的倾斜角是　　． 参考答案： 150° 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出A、B的坐标，从而求出直线AB的斜率即可． 【解答】解：幂函数f（x）=xα（α为常数）的图象恒过定点A， 则A（1，1）， 直线恒过定点B， 则y﹣1﹣=k（x+2），故B（﹣2，1+）， 故直线AB的斜率k==﹣， 故直线AB的倾斜角是150°， 故答案为：150°． 【点评】本题考查了幂函数的性质，考查直线方程问题，是一道基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. ,向量 . (1)求角的大小;   (2)若,求的面积.       参考答案： 19、(1) ∵,∴…………(得2分) 即, ………………………………………………(得2分) 即……(得1分)    或     ……………………………………(得1分) (2) ①若时,由可得…………(得1分) ∴…………………………………………………………………(得2分) 19. 已知函数 (1)画出函数的图像； (2)写出函数的单调区间和值域． 参考答案： 略 20. 已知关于x的函数f（x）=x2﹣2ax+2． （1）当a≤2时，求f（x）在[，3]上的最小值g（a）； （2）如果函数f（x）同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间[p，q]，使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]．则我们称函数f（x）是该定义域上的“闭函数”． （i）若关于x的函数y=+t（x≥1）是“闭函数”，求实数t的取值范围； （ii）判断（1）中g（a）是否为“闭函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（1）对于函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，根据对称轴，分类讨论即可， （2）（i）据和谐函数的定义，列出方程组，可得p2，q2为方程+t=x的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求t的范围 （ii）由新定义，假设g（a）为“和谐函数”，讨论p，q的范围，通过方程的解即可判断 【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2ax+2=（x﹣a）2+2﹣a2，其对称轴方程为x=a， 当a≤时，f（x）在[，3]上单调递增，其最小值为g（a）=f（）=﹣； 当≤a≤2时，f（x）在[，3]上的最小值为g（a）=f（a）=2﹣a2； 函数f（x）=x2﹣2ax+2在[，3]上的最小值g（a）= （2）（i）∵y=+t在[1，+∞）递增， 由闭函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内， 存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]，所以p≥1， ， ∴p2，q2为方程+t=x的二实根， 即方程x2﹣（2t+1）x+t2+1=0在[1，+∞）上存在两个不等的实根且x≥t恒成立， 令u（x）=x2﹣（2t+1）x+t2+1， ∴，∴， 解得＜t≤1 ∴实数t的取值范围（，1]． （ii）对于（1），易知g（a）在（﹣∞，2]上为减函数， ①若p＜q≤，g（a）递减，若g（a）为“闭函数”， 则， 两式相减得p+q=，这与p＜q≤矛盾． ②＜p＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则 此时p2+q2=2满足条件的p，q存在， ∴＜p＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在， ③p≤＜q≤2时，若g（a）为“闭函数”，则， 消去q得9p2﹣6p+1=0，即（3p﹣1）2=0 解得p=此时，q=＜2，且p2+q2=2 ∴p=＜q≤2时，使得g（a）为“闭函数”p，q存在， 综上所述，当p，q满足时，g（a）为“闭函数” 21. 已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16， (1)求不等式g(x)<0的解集； (2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 解：(1)g(x)＝2x2－4x－16<0，∴(2x＋4)(x－4)<0，∴－22时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立， ∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)． ∴对一切x>2，均有不等式≥m成立． 而＝(x－1)＋－2≥2－2＝2(当x＝3时等号成立)． ∴实数m的取值范围是(－∞，2] 22. 设函数φ（x）=a2x﹣ax（a＞0，a≠1）． （1）求函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值； （2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质． 【分析】（1）利用指数函数的单调性，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论，即可求得函数φ（x）在[﹣2，2]上的最大值； （2）当a=时，φ（x）≤t2﹣2mt+2对所有的x∈[﹣2，2]及m∈[﹣1，1]恒成