湖北省荆门市沙洋县后港中学高二数学理期末试题含解析

湖北省荆门市沙洋县后港中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知点P的极坐标为（2，），那么过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程是（　　） 　 A．ρsinθ= B． ρsinθ=2 C． ρcosθ= D． ρcosθ=2 参考答案： A 略 2. 设，，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点,通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A．和的相关系数为直线的斜率     B．和的相关系数在0到1之间 C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 D．直线过点  参考答案： D 略 3. 设命题p：?x＞1，x2﹣x+1＞0，则?p为(     ) A．?x≤1，x2﹣x+1≤0 B．?x＞1，x2﹣x+1≤0 C．?x＞1，x2﹣x+1≤0 D．?x≤1，x2﹣x+1＞0 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可． 【解答】解：命题为特称命题， 则命题的否定为?x＞1，x2﹣x+1≤0， 故选：C． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 4. 若直线与直线平行，则实数的值为                                                                   （    ） A．             B．1                 C．1或         D．   参考答案： A 略 5. 设，为复数且满足，则在复平面内对应的点在（）． Ａ．轴下方        Ｂ．轴上方   Ｃ．轴左方   Ｄ．轴右方 参考答案： B 6. 已知,B=,若实数可在区间内随机取值,则使的概率为                     (     )      A.      B.       C.     D. 参考答案： B 略 7. 与参数方程，等价的普通方程为（   ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 参考答案： C 【分析】 根据题中参数方程，消去参数，得到普通方程，再由题意求出的范围，即可得出结果. 【详解】由消去，可得； 又，， 所以，所求普通方程为，，. 故选C 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，经过计算，消去参数即可，并注意变量的取值范围，属于常考题型. 8. 设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣ D． 参考答案： B 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值． 【解答】解：∵y=， ∴y′==， ∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣， ∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直， ∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2． 故选：B． 9.       某质量监督局要对某厂6月份生产的三种型号的轿车进行抽检，已知6月份该厂共生产甲种轿车1 400辆，乙种轿车6 000辆，丙种轿车2 000辆，现采用分层抽样的方法抽取47辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取（   ） A. 14辆，21辆，12辆               B. 7辆，30辆，10辆 C. 10辆，20辆，17辆               D. 8辆，21辆，18辆   参考答案： B 10. 已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 参考答案： A 【考点】等比数列的通项公式；基本不等式． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值． 【解答】解：∵a7=a6+2a5， ∴a5q2=a5q+2a5， ∴q2﹣q﹣2=0， ∴q=2， ∵存在两项am，an使得=4a1， ∴aman=16a12， ∴qm+n﹣2=16， ∴m+n=6 ∴=（m+n）（）= 故选A 【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是               。 参考答案： 12. 如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直）中，四边形ABCD是边长为1的菱形，E为的中点，F为的中点，则异面直线AC与所成的角的大小为 ．     参考答案： 13. 定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（3）=1，f（﹣2）=3，当x≠0时有x?f'（x）＞0恒成立，若非负实数a、b满足f（2a+b）≤1，f（﹣a﹣2b）≤3，则的取值范围为　　． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】根据x?f'（x）＞0恒成立得到函数的单调性，从而将f（2a+b）≤1化成f（2a+b）≤f（3），得到0≤2a+b≤3，同理化简f（﹣a﹣2b）≤3，得到﹣2≤﹣a﹣2b≤0．然后在aob坐标系内作出相应的平面区域，得到如图所示的阴影部分平面区域，利用直线的斜率公式即可求出的取值范围． 【解答】解：由x?f'（x）＞0恒成立可得： 当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 又∵a，b为非负实数， ∴f（2a+b）≤1可化为f（2a+b）≤1=f（3），可得0≤2a+b≤3， 同理可得﹣2≤﹣a﹣2b≤0，即0≤a+2b≤2， 作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域， 得到如图的阴影部分区域， 解之得A（0，1）和B（1.5，0） 而等于可行域内的点与P（﹣1，﹣2）连线的斜率， 结合图形可知：kPB是最小值，kPA是最大值， 由斜率公式可得：kPA==3，kPB==， 故的取值范围为[，3] 故答案为： 14. 若，则            ． 参考答案： 15. （本小题满分14分） 将圆心角为 ，面积为的扇形作为圆锥的侧面，求该圆锥的表面积和体积。 参考答案： 略 16. 若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是            . 参考答案： 17. 已知复数，则的实部的最大值为_______，虚部的最大值为________. 参考答案：    略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F1、F2，点满足：F2在线段PF1的中垂线上． （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF2F1=∠MF2A，求k的取值范围． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）解法一：由椭圆C的离心率和点F2在线段PF1的中垂线上知|F1F2|=|PF2|，由此推出，从而可求出椭圆C的方程． 解法二：椭圆C的离心率，得，先求得线段PF1的中点为D的坐标，根据线段PF1的中垂线过点F2，利用，得出关于c的方程求出c值，最后求得a，b写出椭圆方程即可； （2）设直线l的方程为y=k（x﹣2），，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用∠NF2F1=∠MF2A得出的斜率关系即可求得k的取值范围． 【解答】解：（1）解法一：椭圆C的离心率，得，其中椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0）， 又点F2在线段PF1的中垂线上，∴F1F2=PF2，∴ 解得c=1，a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．… 解法二：椭圆C的离心率，得，其中 椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），、F2（c，0）， 设线段PF1的中点为D，∵F1（﹣c，0），，∴， 又线段PF1的中垂线过点F2，∴，即c=1，a2=2，b2=1， ∴椭圆方程为 （2）由题意，直线l的方程为y=k（x﹣2），且k≠0， 联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0， 由△=8（1﹣2k2）＞0，得，且k≠0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有，，（*） ∵∠NF2F1=∠MF2A，且由题意∠NF2A≠90°，∴， 又F2（1，0），∴，即， ∴，整理得2x1x2﹣3（x1+x2）+4=0， 将（*）代入得， ，知上式恒成立，故直线l的斜率k的取值范围是． … 19. 某校从参加高二年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，将其成绩分成六段，然后画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： （1）求第四个小组的频率以及频率分布直方图中第四个小矩形的高； （2）估计这次考试的及格率（60分及60分以上为及格）和平均分． 参考答案： 【考点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 【分析】（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为，即可求出第四个小矩形的高， （2）同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出本次考试的平均分 【解答】解：（1）第四小组分数在[70，80）内的频率为： 1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10=0.30 则第四个小矩形的高为=0.03， （2）由题意60分以上的各组频率和为：（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75， 故这次考试的及格率约为75%， 由45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71， 得本次考试中的平均分约为71： 20. （12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为． （I）求动点P的轨迹方程； （II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】轨迹方程． 【分析】（I）利用直接法，求动点P的轨迹方程； （II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论． 【解答】解：（I）设P（x，y），则 ∵动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为， ∴2=， ∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4； （II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x+4）2+（y﹣2）2=36， ∴3x2+3y2+16x﹣12y+32=0， ∵x2+y2=4， ∴4x﹣3y+11=0， 圆心到直线4x﹣3y+11=0的距离d=＞2， ∴直线与圆相离， ∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36． 【点评】本题考查轨迹方程，考查圆与圆的