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湖北省荆门市东宝区盐池中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知x=2是函数f(x)=x3﹣3ax+2的极小值点,那么函数f(x)的极大值为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求出导数,由题意得,f′(2)=0,解出a,再由单调性,判断极大值点,求出即可.
【解答】解:函数f(x)=x3﹣3ax+2的导数f′(x)=3x2﹣3a,
由题意得,f′(2)=0,即12﹣3a=0,a=4.
f(x)=x3﹣12x+2,f′(x)=3x2﹣12=3(x﹣2)(x+2),
f′(x)>0,得x>2或x<﹣2;f′(x)<0,得﹣2<x<2,
故x=2取极小值,x=﹣2取极大值,且为﹣8+24+2=18.
故选D.
【点评】本题考查导数的应用:求极值,同时考查运算能力,属于基础题.
2. 已知点M是抛物线y2=4x上的一点,F为抛物线的焦点,
A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
3. 将一根长为3米的绳子在任意位置剪断,则剪得两段的长度都不小于1米的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】几何概型.
【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型,将长度为3m的绳子分成相等的三段,在中间一段任意位置剪断符合要求,从而找出中间1m处的两个界点,再求出其比值.
【解答】解:记“两段的长都不小于1m”为事件A,
则只能在中间1m的绳子上剪断,才使得剪得两段的长都不小于1m,
所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P(A)=.
故选:A.
4. 当在上变化时,导函数的符号变化如下表:
1
(1,4)
4
-
0
+
0
-
则函数的图象的大致形状为( )
参考答案:
C
略
5. 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+lnx,则f′(2)=( )
A. B.1 C.﹣1 D.﹣
参考答案:
【考点】63:导数的运算.
【分析】已知函数f(x)的导函数为f′(x),利用求导公式对f(x)进行求导,再把x=1代入,x=2代入求解即可.
【解答】解:∵函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,(x>0)
∴f′(x)=2f′(1)+,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,
解得f′(1)=﹣1,
∴f′(2)=2f′(1)+=﹣2+=﹣.
故选D.
6. 在中,下列关系式不一定成立的是( )。
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
7. 下列哪个平面图形作为平行六面体的类比对象较合适 ( )
A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形
参考答案:
C
略
8. 下列四个结论:
①若x>0,则x>sinx恒成立;
②命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x≠0,则x﹣sinx≠0”;
③P命题的否命题和P命题的逆命题同真同假④若|C|>0则C>0
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
参考答案:
B
考点:命题的真假判断与应用.
专题:综合题;转化思想;综合法;简易逻辑.
分析:令f(x)=x﹣sinx,利用导数分析其单调性,可判断①;写出原命题的逆命题,可判断②;P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题,同真同假,可判断③;若|C|>0则C>0或C<0,可判断④.
解答:解:令f(x)=x﹣sinx,则f′(x)=1﹣cosx≥0恒成立,
故f(x)=x﹣sinx在R上为增函数,故x>0时,f(x)>f(0)=0,
即x>sinx恒成立,故①正确;
命题“若x﹣sinx=0,则x=0”的逆命题为“若x=0,则x﹣sinx=0”,故②错误;
P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题,同真同假,正确;
④若|C|>0则C>0或C<0,不正确.
故选:B.
点评:本题考查函数的单调性的运用,考查逆命题,考查四种命题,属于基础题和易错题.
9. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为 ( )
A B C D
参考答案:
D
略
10. 从点(1,0)射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点(3,0)上,则该束光线经过的最短路程是( )
A. B. C. D.2
参考答案:
A
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程.
【分析】由题意可得,点P(1,0)关于直线x﹣y+1=0的对称点B(﹣1,2)在反射光线上,可得光线从P到Q所经过的最短路程是线段BQ,计算求得结果.
【解答】解:由题意可得,点P(1,0)关于直线x﹣y+1=0的对称点B(﹣1,2)在反射光线上,
故光线从P到Q(3,0)所经过的最短路程是线段BQ==2,
故选:A.
【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标,反射定理的应用,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正数x,y满足x2+2xy﹣3=0,则2x+y的最小值是 .
参考答案:
3
【考点】基本不等式.
【分析】用x表示y,得到2x+y关于x的函数,利用基本不等式得出最小值.
【解答】解:∵x2+2xy﹣3=0,∴y=,
∴2x+y=2x+==≥2=3.
当且仅当即x=1时取等号.
故答案为:3.
12. 关于函数,有下列命题:
① 函数y=的图像关于y轴对称; ② 当x>0时是增函数,当x<0时是减函数;
③ 函数的最小值是lg2; ④ 当x>1,时没有反函数。
其中正确命题的序号是 (注:把你认为正确的序号都填上).
参考答案:
①③
略
13. 椭圆的焦点分别是和,过中心作直线与椭圆交于,若的面积是,直线的方程是 。
参考答案:
14. 不等式的解集为_________________.
参考答案:
15. _______.
参考答案:
16. 某地区为了解70岁~80岁的老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查,下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表:
序号i
分组
(睡眠时间)
组中值(Gi)
频数(人数)
频率(Fi)
1
4,5)
4.5
6
0.12
2
5,6)
5.5
10
0.20
3
6,7)
6.5
20
0.40
4
7,8)
7.5
10
0.20
5
8,9
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图,则输出的S的值为________.
参考答案:
6.42
17. 观察下列式子:,,,,…,归纳得出一般规律为 .
参考答案:
【考点】F1:归纳推理.
【分析】本题考查的知识点是归纳推理,我们可以根据已知条件中的等式,分析等式两边的加数与式子编号之间的关系,易得等式左边的系数分别为与n+1,等式右边为n+1,与的和,归纳后即可推断出第n(n∈N*)个等式.
【解答】解:由已知中的式了,我们观察后分析:
等式左边的系数分别为与n+1,等式右边为n+1,与的和,
根据已知可以推断:
第n(n∈N*)个等式为:
故答案为:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知四棱锥,底面是平行四边形,点在平面上的射影 在边上,且,.
(Ⅰ)设是的中点,求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)设点在棱上,且.求的值.
参考答案:
(Ⅰ)在平面内,过作交与,连接,则或其补角即为异面直线与所成角.
在△中,,
由余弦定理得,
故异面直线与所成角的余弦值为.
(Ⅱ)在平面内,过作交与,连接,
∵,∴,∴.
又,故,故在平面中可知,
故,又,
故.
略
19. 已知数列{an}满足,且(,).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项之和Sn,求证:.
参考答案:
(1)∵an=2an﹣1+2n(≥2,且n∈N*)∴∴
∴数列{}是以为首项,1为公差的等差数列;
∴an=;
(2)∵Sn=
∴2Sn=
两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=(3﹣2n)?2n﹣3
∴Sn=(2n﹣3)?2n+3>(2n﹣3)?2n ∴.
20. (本大题满分10分)
已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;
命题q:双曲线的离心率,若p、q有且只有一个为真,求实数m的取值范围.
参考答案:
将方程改写为,
只有当即时,方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆,所以命题p等价于;……………………………4分
因为双曲线的离心率,
所以,且1,解得,…………………6分
所以命题q等价于; …………………………8分
若p真q假,则;
若p假q真,则
综上:的取值范围为……………………………10分
21. 已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=xf′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e﹣2.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(Ⅰ)由题意,求出函数的导数,再由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行可得出f′(1)=0,由此方程即可解出k的值;
(II)由(I)知, =,x∈(0,+∞),利用导数解出函数的单调区间即可;
(III)先给出g(x)=xf'(x),考查解析式发现当x≥1时,g(x)=xf'(x)≤0<1+e﹣2一定成立,由此将问题转化为证明g(x)<1+e﹣2在0<x<1时成立,利用导数求出函数在(0,1)上的最值,与1+e﹣2比较即可得出要证的结论.
【解答】解:(I)函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),
∴=,x∈(0,+∞),
由已知,,∴k=1.
(II)由(I)知, =,x∈(0,+∞),
设h(x)=1﹣xlnx﹣x,x∈(0,+∞),h'(x)=﹣(lnx+2),
当x∈(0,e﹣2)时,h'(x)>0,当x∈( e﹣2,1)时,h'(x)<0,
可得h(x)在x∈(0,e﹣2)时是增函数,在x∈( e﹣2,1)时是减函数,在(1,+∞)上是减函数,
又h(1)=0,h(e﹣2)>0,又x趋向于0时,h(x)的函数值趋向于1
∴当0<x<1时,h(x)>0,从而f'(x)>0,
当x>
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