湖北省荆门市东宝区盐池中学高二数学理期末试卷含解析

湖北省荆门市东宝区盐池中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知x=2是函数f（x）=x3﹣3ax+2的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出导数，由题意得，f′（2）=0，解出a，再由单调性，判断极大值点，求出即可． 【解答】解：函数f（x）=x3﹣3ax+2的导数f′（x）=3x2﹣3a， 由题意得，f′（2）=0，即12﹣3a=0，a=4． f（x）=x3﹣12x+2，f′（x）=3x2﹣12=3（x﹣2）（x+2）， f′（x）＞0，得x＞2或x＜﹣2；f′（x）＜0，得﹣2＜x＜2， 故x=2取极小值，x=﹣2取极大值，且为﹣8+24+2=18． 故选D． 【点评】本题考查导数的应用：求极值，同时考查运算能力，属于基础题． 2. 已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点， A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为     A．1               B．2            C．3           D．4 参考答案： D 3. 将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】几何概型． 【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值． 【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A， 则只能在中间1m的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m， 所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=． 故选：A． 4. 当在上变化时，导函数的符号变化如下表： 1 （1，4） 4 － 0 + 0 － 则函数的图象的大致形状为（ ）   参考答案： C 略 5. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（2）=（　　） A． B．1 C．﹣1 D．﹣ 参考答案： 【考点】63：导数的运算． 【分析】已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，x=2代入求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0） ∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1， 解得f′（1）=﹣1， ∴f′（2）=2f′（1）+=﹣2+=﹣． 故选D． 6. 在中，下列关系式不一定成立的是（    ）。        A．                                    B．        C．             D． 参考答案： D 略 7. 下列哪个平面图形作为平行六面体的类比对象较合适                       （   ） A．三角形     B.梯形     C.平行四边形     D.矩形 参考答案： C 略 8. 下列四个结论： ①若x＞0，则x＞sinx恒成立； ②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”； ③P命题的否命题和P命题的逆命题同真同假④若|C|＞0则C＞0 其中正确结论的个数是(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 参考答案： B 考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题；转化思想；综合法；简易逻辑． 分析：令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，可判断③；若|C|＞0则C＞0或C＜0，可判断④． 解答：解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立， 故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0， 即x＞sinx恒成立，故①正确； 命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误； P命题的否命题和P命题的逆命题是等价命题，同真同假，正确； ④若|C|＞0则C＞0或C＜0，不正确． 故选：B． 点评：本题考查函数的单调性的运用，考查逆命题，考查四种命题，属于基础题和易错题． 9. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为 （  ）                                                                A          B               C          D    参考答案： D 略 10. 从点（1，0）射出的光线经过直线y=x+1反射后的反射光线射到点（3，0）上，则该束光线经过的最短路程是（　　） A． B． C． D．2 参考答案： A 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【分析】由题意可得，点P（1，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点B（﹣1，2）在反射光线上，可得光线从P到Q所经过的最短路程是线段BQ，计算求得结果． 【解答】解：由题意可得，点P（1，0）关于直线x﹣y+1=0的对称点B（﹣1，2）在反射光线上， 故光线从P到Q（3，0）所经过的最短路程是线段BQ==2， 故选：A． 【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标，反射定理的应用，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是　  　． 参考答案： 3 【考点】基本不等式． 【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值． 【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=， ∴2x+y=2x+==≥2=3． 当且仅当即x=1时取等号． 故答案为：3． 12. 关于函数，有下列命题： ① 函数y=的图像关于y轴对称； ② 当x>0时是增函数，当x<0时是减函数； ③ 函数的最小值是lg2；        ④ 当x>1，时没有反函数。 其中正确命题的序号是            （注：把你认为正确的序号都填上）. 参考答案： ①③ 略 13. 椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于，若的面积是，直线的方程是            。 参考答案： 14. 不等式的解集为_________________. 参考答案： 15. _______. 参考答案： 16. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号i 分组       (睡眠时间) 组中值(Gi) 频数(人数) 频率(Fi)   1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________． 参考答案： 6.42 17. 观察下列式子：，，，，…，归纳得出一般规律为　　． 参考答案： 【考点】F1：归纳推理． 【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的加数与式子编号之间的关系，易得等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和，归纳后即可推断出第n（n∈N*）个等式． 【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析： 等式左边的系数分别为与n+1，等式右边为n+1，与的和， 根据已知可以推断： 第n（n∈N*）个等式为： 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知四棱锥，底面是平行四边形，点在平面上的射影 在边上，且，． （Ⅰ）设是的中点，求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅱ）设点在棱上，且．求的值． 参考答案： （Ⅰ）在平面内，过作交与，连接，则或其补角即为异面直线与所成角． 在△中，， 由余弦定理得， 　　故异面直线与所成角的余弦值为． （Ⅱ）在平面内，过作交与，连接， ∵，∴，∴． 又，故，故在平面中可知， 故，又， 故． 略 19. 已知数列{an}满足，且（，）. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前n项之和Sn，求证：. 参考答案： （1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）∴∴ ∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列； ∴an=； （2）∵Sn= ∴2Sn= 两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）?2n﹣3 ∴Sn=（2n﹣3）?2n+3＞（2n﹣3）?2n ∴．   20. （本大题满分10分） 已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆； 命题q：双曲线的离心率，若p、q有且只有一个为真，求实数m的取值范围． 参考答案： 将方程改写为， 只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；……………………………4分 因为双曲线的离心率， 所以，且1，解得，…………………6分 所以命题q等价于；   …………………………8分 若p真q假，则； 若p假q真，则 综上：的取值范围为……………………………10分 21. 已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可； （III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论． 【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）， ∴=，x∈（0，+∞）， 由已知，，∴k=1． （II）由（I）知， =，x∈（0，+∞）， 设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（ e﹣2，1）时，h'（x）＜0， 可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（ e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数， 又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1 ∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0， 当x＞