湖北省荆州市石首高基庙中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析

湖北省荆州市石首高基庙中学2022-2023学年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知α，β为锐角，且cos（α+β）=，sinα=，则cosβ的值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【分析】根据题意，由cos（α+β）与sinα的值，结合同角三角函数基本关系式计算可得sin（α+β）与cosα的值，进而利用β=[（α+β）﹣α]可得cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，代入数据计算可得答案． 【解答】解：根据题意，α，β为锐角，若sinα=，则cosα=， 若cos（α+β）=，则（α+β）也为锐角， 则sin（α+β）=， 则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=， 故选：A． 2. 已知a，b，c满足cac  B．c(b－a)<0   C．cb20 参考答案： A 由c0.由b>c得ab>ac一定成立． 3. 已知i是虚数单位，若1+i=z（1﹣i），则z的虚部为(     ) A．﹣1 B．﹣i C．i D．1 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：1+i=z（1﹣i）， ∴z====﹣i， ∴z的虚部为1． 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题． 4. 设复数z满足=i，则|z|=（　　） A．1 B． C． D．2 参考答案： A 【考点】A8：复数求模． 【分析】先化简复数，再求模即可． 【解答】解：∵复数z满足=i， ∴1+z=i﹣zi， ∴z（1+i）=i﹣1， ∴z==i， ∴|z|=1， 故选：A． 5. 若等差数列{an}的公差且成等比数列，则（    ） A．         B．       C.         D．2 参考答案： A 6. 记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意正整数都成立，则实数的最大值为（ ▲ ）。 A．             B．               C．                D． 参考答案： D 略 7. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点 且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲 线的离心率的取值范围为（    ） A．      　　　B．        　C．          D． 参考答案： A 由于为等腰三角形，可知只需即可，即 ，化简得． 8. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　） A．（1，2） B．（，1） C．（2，3） D．（e，+∞） 参考答案： C 【分析】利用函数的零点判定定理，化简求解即可． 【解答】解：函数f（x）=lnx﹣的定义域为：x＞0，函数是连续函数， f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0． f（3）=ln3﹣＞1﹣=0． f（2）f（3）＜0， 由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 9. 已知函数若，则实数的值等于 A．1                    B．2                    C．3                    D．4 参考答案： B 10. 若非零不共线向量a、b满足|a－b|＝|b|，则下列结论正确的个数是(　　) ①向量a、b的夹角恒为锐角； ②2|b|2>a·b； ③|2b|>|a－2b|； ④|2a|<|2a－b|. A．1  B．2     C．3  D．4 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知为区域内的任意一点，则的取值范围是______． 参考答案： 试题分析：画出可行域如图所示：由题意可求得， 由得：， 显然直线过时，最小，最小值是0， 直线过时，最大，最大值是6， 故． 考点：简单的线性规划 12. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为　　． 参考答案： 【考点】L!：由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥． 【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥． ∴该几何体的体积V==． 故答案为：． 13. 里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为    级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的     倍． 参考答案： 6，10000． 【分析】根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 【解答】解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001， 则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6． 设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y， 9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102， ∴． 故答案为：6，10000． 【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用． 14. 已知，且，则的最大值为        . 参考答案： 15. 已知矩形ABCD的边AB=2， AD=1， 则__________. 参考答案： 4 16. 若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为________． 参考答案： 1 略 17. 函数f（x）=a（x+2）2﹣1（a≠0）的图象的顶点A在直线mx+ny+1=0上，其中m?n＞0，则的最小值为　    　． 参考答案： 8 【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】先根据二次函数求出顶点坐标，然后代入直线方程可得2m+n=1，然后中的1用2m+n代入，2用4m+2n代入化简，利用基本不等式可求出最小值． 【解答】解：由题意可得顶点A（﹣2，﹣1），又点A在直线mx+ny+1=0上，∴2m+n=1， 则+=+=4++≥4+2 =8， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：8． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，边长为2的等边三角形ABC中，D为BC的中点，将△ABC沿AD翻折成直二面角B﹣AD﹣C，点E，F分别是AB，AC的中点． （1）求证：BC∥平面DEF； （2）求多面体D﹣BCEF的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）推导出EF∥BC．由此能证明BC∥平面DEF． （Ⅱ）推导出AD⊥BD，AD⊥CD，从而AD⊥平面BCD，进而得到VD﹣BCFE=V三棱锥A﹣BCD﹣V三棱锥F﹣ADE，由此能求出多面体D﹣BCEF的体积． 【解答】证明：（1）因为点E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC． 又因为BC?平面DEF，EF?平面DEF， 所以BC∥平面DEF．  … 解：（2）依题意，AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩DC=D， 所以AD⊥平面BCD， 又因为二面角B﹣AD﹣C为直二面角，所以BD⊥CD， 所以， ， 所以．  … 19. 坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合． 直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）求曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求、两点间的距离． 参考答案： 解：（Ⅰ）由得，，两边同乘得， ， 再由，，，得 曲线的直角坐标方程是 ………… 5分 （Ⅱ）将直线参数方程代入圆方程得，， ，，   ．………… 10分   略 20. 已知椭圆C：，圆Q：的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为． （I）求椭圆C的方程； （II）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围． 参考答案： （1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，）， 代入椭圆方程可得+=1， 由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=， 解得c=2，即a2﹣b2=4， 解得a=2，b=2， 即有椭圆的方程为+=1； （2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±， 可得M的坐标为（2，），又|AB|=4， 可得△MAB的面积为×2×4=4； 设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0， 可得中点M（，）， |MP|==， 设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得： （2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0， 设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=， 则|AB|=? =?， 可得△MAB的面积为S=??? =4， 设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1， 可得S＜4， 且S＞4= 综上可得，△MAB的面积的取值范围是（，4]． 21. M是椭圆T：1（a＞b＞0）上任意一点，F是椭圆T的右焦点，A为左顶点，B为上顶点，O为坐标原点，如下图所示，已知|MF|的最大值为3，且△MAF面积最大值为3． （1）求椭圆T的标准方程 （2）求△ABM的面积的最大值S0．若点N（x，y）满足x∈Z，y∈Z，称点N为格点．问椭圆T内部是否存在格点G，使得△ABG的面积S∈（6，S0）？若存在，求出G的坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案： (1) (2)存在，坐标为（2，﹣1） 【分析】 （1）由椭圆性质可知，由已知条件得，且的最大值为2，即b=2，结合a，b，c的关系可求出椭圆T的方程． （2）由题知直线AB的方程为，设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0，则△ABM0的面积为△ABM的面积的最大值S0．直线与椭圆联立求出直线AB与直线l距离为，由此能求出（2，﹣1）为所求格点G． 【详解】（1）由椭圆性质可知， 其中c＞0，c2＝a2﹣b2， 因为xM∈[﹣a，a]，故|MF|∈[a﹣c，a+c]，即 又△MAF面积最大值为3．且 ，∴的最大值为2，即b=2，又b2＝a2﹣c2且 解之得 椭圆T的方程为 （2）由题知直线AB的方程为， 设直线与椭圆T相切于x轴下方的点M0， 则△ABM0面积为△ABM的面积的最大值S0. 此时，直线AB与直线l距离为， 而 而，令，则 设直线到直线AB的距离为， 则有，解得n＝﹣2或6， 注意到l1与直线AB平行且l1需与椭圆T应有公共点， 故只需考虑n＝﹣2的情形． 直线经过椭圆T的下顶点B0（0，﹣2）与右顶点A0， 则线段A0B0上任意一点G0