湖北省荆门市燎原中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数为奇函数，则的值为（ ）
A． 2 B． 1 C． -1 D． 0
参考答案：
B
2. 已知集合、}，则集合B非空真子集有（ ）
A．3个 B． 6个 C．7个 D．8个
参考答案：
B
3. （ ）
Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于 Ｄ．不存在
参考答案：
答案：B
解析：=，选B
4. 平面四边形中，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增,则不等式
的解集为 （ ）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
6. 已知函数f（x）=x2+bx过（1，3）点，若数列{}的前n项和为Sn，则Sn的值为（ ）
A． B．
C．﹣ D．﹣
参考答案：
D
【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】利用数列与函数的关系求出b，得到数列的通项公式，然后利用裂项法求解数列的和即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+bx过（1，3）点，
可得：3=1+b，解得b=2，
可知：f（n）=n（n+2），∴，
∴Sn=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．
7. 集合，集合，则集合 （ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
A
因为集合，集合，则集合
，选A
8. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：
①若； ②若；
③如果相交；
④若
其中正确的命题是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
参考答案：
D
略
9. 若复数是纯虚数，则的值为（ ）
A.-7 B. C.7 D.或
参考答案：
A
略
10. 已知集合，，则（ ）
A．{－1,0,1,2} B．{－2,－1,0,1}
C．{－3,－2,2,3} D．{－3,－2,3}
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方形ABCD的边长为1，当每个取遍±1时，的最小值是________；最大值是_______.
参考答案：
0
【分析】
本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.
【详解】
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正。
比如
则.
点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。
【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.
12. 已知数列{an}为等差数列，且，则a2016（a2014+a2018）的最小值为 ．
参考答案：
【考点】等比数列的通项公式；定积分．
【分析】先求出2a2016==π，进而a2016=，由此能求出a2016（a2014+a2018）的值．
【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且，
∴2a2016==×π×22=π，
∴a2016=，
a2016（a2014+a2018）=2a2016?a2016=2×=．
故答案为：．
13. 已知函数f（x）=，则f（f（4））= ．
参考答案：
﹣7
【考点】函数的值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】利用分段函数性质求解．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（4）=﹣log24=﹣2，
∴f（f（4））=f（﹣2）=2﹣9=﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
14. 已知命题，都有，则为 ．
参考答案：
，使得
15. 若函数为奇函数，则实数a= ．
参考答案：
【分析】利用奇函数过坐标原点得到关于实数a的方程，解方程即可求得最终结果．
【解答】解：函数为奇函数，则f（0）=0，即：，解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查奇函数的性质及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
16. 集合，，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________
①a的值可以为2；
②a的值可以为；
③a的值可以为；
参考答案：
②③
【分析】
根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案.
【详解】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，
集合：，故，即或，
集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，
故所在的直线的倾斜角为，，故：，
解得，此时，，此时.
故答案为：②③.
【点睛】本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键.
17. 已知矩形的边长为2，，点P在线段BD上运动，则 。
参考答案：
2
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
参考答案：
19. （12分）四棱锥S-ABCD中， AD∥BC，，，E为SD的中点.
（1）求证：平面AEC⊥平面ABCD；
（2）求BC与平面CDE所成角的余弦值.
参考答案：
（1）为的中点，
设为的中点，连接则
又
从而
面
面 面
面面………………6分
（2）设为的中点,连接,则平行且等于
∥ ∥
不难得出面（ ）
面面
在面射影为，的大小为与面改成角的大小
设，则
即与改成角的余弦值为.（亦可以建系完成） ………………12分
20.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）设函数（是自然对数的底数），是否存在使在上为减函数，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由。
【答案】【解析】（1）f(x)的单调增区间是（0,1），；（2）实数的范围是.
解析：（1）当a=-2时 ，，
设,即，所以x<1,或x>2
所以f(x)的单调增区间是（0,1），.---------4分
（2）假设存在a使g(x)在[a,-a]上减函数，则a<0.
当时：
因为
所以①当时，在定义域上为增函数，不合题意；
②当时，由得，1
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