湖北省荆门市京源中学2023年高二数学理模拟试卷含解析

湖北省荆门市京源中学2023年高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是（　　） A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b C．a＜＜b＜ D．＜a＜＜b 参考答案： B 【考点】基本不等式． 【分析】举特值计算，排除选项可得． 【解答】解：取a=1且b=4，计算可得=2， =， 选项A、B、D均矛盾，B符合题意， 故选：B 2. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 参考答案： D 【考点】椭圆的定义． 【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围． 【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ∴故0＜k＜1 故选D． 3. 设x1、x2∈R，常数a＞0，定义运算“*”，x1*x2＝（x1＋x2）2－（x1－x2）2，若x≥0，则动点的轨迹是（    ） A．圆            B．椭圆的一部分         C．双曲线的一部分            D．抛物线的一部分 参考答案： D 略 4. 下列四个命题中是真命题的是（　　） A．x＞3是x＞5的充分条件     B．x2=1是x=1的充分条件 C．a＞b是ac2＞bc2的必要条件     D． 参考答案： C 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2K：命题的真假判断与应用． 【分析】利用不等式的性质、三角函数求值及其简易逻辑的判定方法即可判断出结论． 【解答】解：A．x＞3是x＞5的必要不充分条件，因此不正确； B．x2=1是x=1的必要不充分条件； C．a＞b是ac2＞bc2的必要不充分条件； D. ?sinα=1，反之不成立． 故选：C． 5. 已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，，则P到x轴的距离为(    )A.         B.        C.        D. 参考答案： B 6. 若在上是减函数，则b的取值范围是（    ） A.     B.      C.     D. 参考答案： C 7. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(     ) A．36种 B．12种 C．18种 D．48种 参考答案： A 考点：排列、组合的实际应用． 专题：排列组合． 分析：根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分2种情况讨论，①若小张或小赵入选，②若小张、小赵都入选，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案． 解答： 解：根据题意分2种情况讨论， ①若小张或小赵入选，则有选法C21C21A33=24； ②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32=12， 共有选法12+24=36种， 故选A． 点评：本题考查组合、排列的综合运用，涉及分类讨论的思想，注意按一定顺序，做到不重不漏． 8. 已知函数有两个零点，则( ▲ )     A．       B．   C．    D． 参考答案： d 略 9. 下列说法错误的是  （    ） A、“”是“”的必要不充分条件 B、命题“若a=0，则ab=0”的否命题是：“若a≠0，则ab≠0”； C、若命题p：x∈R，x2-x+1<0，则p：x∈R，x2-x+1≥0； D、函数的单调增区间是  参考答案： D 10. 如图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是（　　） A．12 B．8 C．4 D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据已知中一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，我们可以判断出该几何体为一个正四棱锥，进而求出其底面棱长及侧高，代入棱棱侧面积公式，即可得到答案． 【解答】解：由已知中几何体的三视图中， 正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形 可得这个几何体是一个正四棱椎 且底面的棱长为2，棱锥的高为，其侧高为2 则棱锥的侧面积S=4××2×2=8 故选B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设P为有公共焦点F1，F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点，且，若椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，则的最小值为  ▲   . 参考答案： 8 【分析】 由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到+=2，再利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m  ① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a  ② 又∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③ ①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④ 将④代入③得a2+m2=2c2，可得+=2， ∴=（+）（）=（10++）≥（10+6）=8 故答案为：8．   12. 抛物线的焦点坐标是                ． 参考答案： 略 13. 二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为____________． 参考答案： 略 14. 抛物线的焦点坐标是_____________. 参考答案： （３，０） 15. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是                                          ； 参考答案： 假设三内角都小于60度； 16. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是         参考答案： y2＝8x                                              略 17. 如图所示的程序框图，输出的n的值是　 　． 参考答案： 5 【考点】程序框图． 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可得： n=0， 执行循环体，n=1， 不满足条件2n＞20，执行循环体，n=2， 不满足条件2n＞20，执行循环体，n=3， 不满足条件2n＞20，执行循环体，n=4， 不满足条件2n＞20，执行循环体，n=5， 满足条件2n＞20，退出循环，输出n的值为5． 故答案为：5 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心， PO底面ABCD，E是PC的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE； （2）平面PAC平面BDE． 参考答案： 证明:（Ⅰ）∵O是AC的中点，E是PC的中点， ∴OE∥AP，                ………………………2分 又∵OE平面BDE，PA平面BDE，                                     ∴PA∥平面BDE．          ……………5分 （Ⅱ）∵PO底面ABCD， ∴POBD，            ………………7分 又∵ACBD，且ACPO=O     ∴BD平面PAC，而BD平面BDE，  ……………10分 ∴平面PAC平面BDE．           ………………12分   19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB= 120°，∠PBC=90°． （Ⅰ）求证：直线DA⊥平面PAB； （Ⅱ）求三棱锥B﹣PAC的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（I）根据矩形的性质得出AD⊥AB，AD∥BC，由BC⊥PB得出AD⊥BP，故AD⊥平面PAB； （II）将△PAB当作棱锥的底面，则棱锥的高为BC，代入体积公式计算． 【解答】（I）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC． ∵∠PBC=90°，∴BC⊥PB， ∴AD⊥PB，又AB?平面APB，BP?平面ABP，AB∩BP=B， ∴DA⊥平面PAB． （II）解：∵AD∥BC，AD⊥平面PAB， ∴BC⊥平面PAB，BC=AD=1． ∵S△PAB==． ∴三棱锥B﹣PAC的体积V===． 【点评】本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 20. 已知条件和条件，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为构造命题：“若则”，并使得构造的原命题为真命题,而其逆命题为假命题,则这样的一个原命题是什么?并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 参考答案： 21. （本小题满分12分） 已知函数.().   （1）当时，求函数的极值；   （2）若对，有成立，求实数的取值范围． 参考答案： 当变化时，，的变化情况如下表： x 1 + 0 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 ------------------------4分 ∴当时，函数有极大值，----------------5分 当时函数有极小值，---------------------------6分 即，对恒成立，-----------------------------8分 ∵，当且仅当时等号成立， ∴------------------------------9分 ②当时，有， 即，对恒成立， ∵，当且仅当时等号成立， ∴----------------11分 ③当时， 综上得实数的取值范围为.------------------12分 22. 已知圆C: (x－2)2+y2=2． （1）求与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线方程． （2）已知过点P(1,3)的直线l交圆C于A、B两点，且|AB|=2，求直线l的方程． 参考答案： 见解析． 解：（）若直线过原点，设为，圆心为，半径为，则由与圆相切，可得，解得， 此时直线方程为． （）若直线不过原点，设为， 则， 解得或， 此时直线方程为或， 综上所述，直线方程为或． ①若斜率不存在，则直线方程为， 弦长距，半径为， 则，符合题意． ②若斜率存在，设直线方程为， 弦心距得， 解得， 综上所述，直线的方程为或．