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湖北省荆门市红星中学高二数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数y=lg(x2﹣ax+4)的值域为R,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣4,4) B.[﹣4,4] C.(﹣∞,4)∪(4,+∞) D.(﹣∞,﹣4]∪[4,+∞)
参考答案:
D
考点: 对数函数的值域与最值.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据函数的性质,得出△=a2﹣16≥0,求解即可.
解答: 解:∵函数y=lg(x2﹣ax+4)的值域为R,
∴u(x)=(x2﹣ax+4)的图象不能在x轴上方,
∴△=a2﹣16≥0,
即a≤﹣4或a≥4,
故选:D
点评: 本题综合考查了函数的性质,不等式的解法,属于中档题.
2. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示,分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有( )
A., B.,
C., D.,
参考答案:
B
3. 定义方程的实数根为函数的“和谐点”.如果函数,, 的“和谐点”分别为,则的大小关系是
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若点的直角坐标是,则点的极坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 抛物线的焦点坐标为( )
A B C D
参考答案:
A
略
6. 复平面内,复数,则复数的共轭复数对应的点的象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
7. 设 是公比为正数的等比数列,若 ,则数列的前7项和
为
A. 63 B.64 C.127 D.128
参考答案:
C
8. 已知,,则的值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
∵,,
∴,
∴.
故选.
9. 下列四个命题中
p1:?x∈(0,+∞),()x<()x;
p2:?x∈(0,1),logx>logx;
p3:?x∈(0,+∞),()x<()x
p4::?x∈(0,),()x<logx
其中真命题是( )
A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4
参考答案:
D
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】计算题;推理和证明.
【分析】对四个命题分别进行判断,即可得出结论.
【解答】解:p1:?x∈(0,+∞),()x>()x,故p1不正确;
p2:?x∈(0,1),logx>logx;故正确;
p3:?x∈(0,+∞),()x>()x,故不正确;
p4::?x∈(0,),()x<1<logx,故正确.
故选:D.
【点评】本题考查命题的真假判断,考查指数、对数函数的性质,比较基础.
10. 抛物线的焦点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 吨.
参考答案:
20
12. 在极坐标系 中,曲线与的交点的极坐标为________.
参考答案:
13. 样本数据11,8,9,10,7的方差是_▲_.
参考答案:
2
14. 过椭圆的焦点F的弦中最短弦长是 .
参考答案:
15. 命题“”的否定是“ ”.
参考答案:
,
略
16. 下列命题中,真命题是 (将真命题前面的编号填写在横线上).
①已知平面、和直线、,若,且,则.
②已知平面、和两异面直线、,若,且,,则.
③已知平面、、和直线,若,且,则.
④已知平面、和直线,若且,则或.
参考答案:
②③④
17. 在△ABC中,若a=2,A=60°,则= .
参考答案:
4
【考点】正弦定理.
【专题】计算题;转化思想;解三角形.
【分析】根据题意,结合正弦定理可得=,将a=2,A=60°代入计算可得答案.
【解答】解:根据题意,由正弦定理可得=,
而a=2,A=60°,则===4,
即=4,
故答案为:4.
【点评】本题考查正弦定理的运用,熟练运用正弦定理是解题的关键.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】利用椭圆性质求解.
【解答】解:椭圆+=1中,
∵a=4,b=2,c==2,
∴椭圆+=1的长轴2a=8,短轴2b=4,顶点(﹣4,0),(4,0),(0,﹣2),(0,2),焦点(﹣2,0),(2,0).
【点评】本题考查椭圆的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.
19. 有甲,乙两班进行数学考试,按照大于等于80分为优秀,80分以下为非优秀统计成绩后,得列联表,已知全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为,
优秀
非优秀
合计
甲班
15
乙班
25
合计
100
本题可以参考独立性检验临界值表
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表中数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩优秀与班级有关系”?
参考答案:
解:(1)优秀的学生人数为,所以列联表为
优秀
非优秀
合计
甲班
15
35
50
乙班
25
25
50
合计
40
60
100
(4分)
(2)根据列联表的数据>3.841,因此有95%的把握认为“成绩与班级有关”(4分)
略
20. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=4,S5=30.数列{bn}满足b1=0,bn=2bn﹣1+1,(n∈N,n≥2),
①求数列{an}的通项公式;
②设Cn=bn+1,求证:{Cn}是等比数列,且{bn}的通项公式;
③设数列{dn}满足,求{dn}的前n项和为Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比关系的确定;数列递推式.
【分析】①等差数列{an}中,依题意,解关于首项a1与公差d的方程组,即可求得数列{an}的通项公式;
②可求得=2(n≥2,n∈N),c1=b1+1=1,从而可确定{cn}是以1为首项,2为公比的等比数列,继而可得{bn}的通项公式;
③通过裂项法可求得dn=(﹣)+2n﹣1﹣1,再利用分组求和、公式法求和即可求得{dn}的前n项和为Tn.
【解答】解:①由a2=a1+d=4,S5=5a1+d=30得:a1=2,d=2,
∴an=2+2(n﹣1)=2n…
②∵bn=2bn﹣1+1,cn=bn+1,
∴===2(n≥2,n∈N)
∴{cn}是以2为公比的等比数列.
又∵c1=b1+1=1,
∴cn=bn+1=1×2n﹣1=2n﹣1,
∴bn=2n﹣1﹣1…
③∵dn=+bn=+2n﹣1﹣1=(﹣)+2n﹣1﹣1,
∴Tn=[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]+(1+2+22+…+2n﹣1)﹣n
=(1﹣)+﹣n
=2n﹣n﹣
21. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边为6,高为4的等腰三角形,求该几何体的表面积.
参考答案:
表面积为88+24
略
22. 求经过直线l1:x+y﹣3=0与直线l2:x﹣y﹣1=0的交点M,且分别满足下列条件的直线方程:
(1)与直线2x+y﹣3=0平行;
(2)与直线2x+y﹣3=0垂直.
参考答案:
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【专题】计算题;直线与圆.
【分析】(1)由,得M(2,1).依题意,可设所求直线为:2x+y+c=0,由点M在直线上,能求出所求直线方程.
(2)依题意,设所求直线为:x﹣2y+c=0,由点M在直线上,能求出所求直线方程.
【解答】解:(1)由,得,所以M(2,1).…
依题意,可设所求直线为:2x+y+c=0.…
因为点M在直线上,所以2×2+1+c=0,
解得:c=﹣5.…
所以所求直线方程为:2x+y﹣5=0.…
(2)依题意,设所求直线为:x﹣2y+c=0.…
因为点M在直线上,所以2﹣2×1+c=0,
解得:c=0.…
所以所求直线方程为:x﹣2y=0.…(14分)
【点评】本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线平行、直线与直线垂直等关系的合理运用.
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