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湖北省荆州市石首新厂镇中学2023年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间内递减,那么实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
2. 设偶函数,则解集为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
3. 平行四边形ABCD中,,若,且,则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
A
,,所以:,即,
整理得:,得:
4. sin(-π)的值等于( )
A. B.- C. D.-
参考答案:
C
略
5. 集合P=,集合Q= 那么P,Q的关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
6. 下列函数中,不满足的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
项中,满足条件,但不符合题意
项中,,,,不满足条件,符合题意
项中,,满足条件,但不符合题意
项中,满足条件,但不符合题意
综上,故选
7. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(w>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(0)+f()的值为( )
A.2﹣ B.2+ C.1﹣ D.1+
参考答案:
AB
【考点】正弦函数的图象.
【分析】根据函数f(x)的部分图象,求出周期T与ω的值,再计算φ的值,写出f(x)的解析式,从而求出f(0)+f()的值.
【解答】解:根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(w>0,|φ|<)的部分图象,
得T=﹣(﹣)=,
又T==π,∴ω=2;
当x=﹣时,函数f(x)取得最小值﹣2,
∴2×(﹣)+φ=﹣+2kπ,k∈Z,
解得φ=﹣+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=﹣,
∴f(x)=2sin(2x﹣);
∴f(0)+f()=2sin(﹣)+2sin(2×﹣)
=2×(﹣)+2sin
=2﹣.
故选:A.
8. 太原市某时段100辆汽车通过祥云桥时,时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[30,40]的汽车约有( )
A.30辆 B.35辆 C.40辆 D.50辆
参考答案:
A
【考点】B8:频率分布直方图.
【分析】由已知中的频率分布直方图为100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图,我们可得到样本容量,再由图中分析出时速在[30,40]的频率,即可得到该组数据的频数,进而得到答案.
【解答】解:由已知可得样本容量为100,
又∵数据落在区间的频率为0.03×10=0.3
∴时速在[30,40]的汽车大约有100×0.3=30,
故选:A.
9. 函数的图像只可能是( )
A B C D
参考答案:
C
10. 已知,则= ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数y=1+2x-x2的最大单调递增区间是__________
参考答案:
12. 数列{an}满足,(且),则数列{an}的通项公式为an =________.
参考答案:
【分析】
利用累加法和裂项求和得到答案.
【详解】
当时满足
故答案为:
【点睛】本题考查了数列的累加法,裂项求和法,意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.
13. 给出以下四个结论:
①若函数的定义域为[1,2],则函数的定义域是[4,8];
②函数(其中,且)的图象过定点(1,0);
③当时,幂函数的图象是一条直线;
④若,则的取值范围是;
⑤若函数在区间(-∞,1]上单调递减,则的取值范围是 [1,+∞).
其中所有正确结论的序号是 .
参考答案:
①④⑤
14. 由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,每隔五年计算机的成本降低,现在价格为8100元的计算机经过15年的价格为
参考答案:
2400
15. 不等式2x﹣2<1的解集是 .
参考答案:
{x|x<2}
【考点】指、对数不等式的解法.
【分析】根据指数函数的单调性,把不等式化为x﹣2<0,求出解集即可.
【解答】解:由不等式2x﹣2<1,
得x﹣2<0,
解得x<2,
所以不等式的解集是{x|x<2}.
故答案为:{x|x<2}.
16. 函数的最大值等于 .
参考答案:
解析:
17. 设满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为__________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)已知向量, 的夹角为, 且, ,
(1) 求; (2) 求 .
参考答案:
(1)
(2)
所以
19. 已知集合且,求实数m的值.
参考答案:
解. A={1,2}
,
m=0,
m·1-2=0,m=2
m·2-2=0,m=1
∴m=0,或1,或2
略
20. (12分)函数的定义域为D,①f(x)在D上是单调函数,②在D上存在区间,使
在 上的值域为,那么称f(x)为D上的“减半函数”
(1)若,(),试判断它是否为“减半函数”,并说明理由
(2)若,(),为“减半函数”,试求t的范围
参考答案:
(1)若,(),
则为单调增函数
存在,,
其值域为
满足“减半函数”
(2)当,原函数为单调减函数
复合部分也为单调减函数
故此时,函数为单调递增函数
当时,
为单调递增函数
复合部分也为单调增函数
故此时,函数为单调递增函数
故无论,还是,函数在定义域内为单调递增函数
可得:
,
是方程的两个不同的根,令,
则方程有两个不等的正根
即
解得
故,
检验由知:满足题设要求。
21. (12分)已知一个半径为的球有一个内接正方体(正方体的顶点都在球面上),求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比。
参考答案:
22. (本小题满分12分)
定义在上的函数满足:对任意、恒成立,
当时,.
(Ⅰ) 求证在上是单调递增函数;
(Ⅱ)已知,解关于的不等式;
(Ⅲ)若,且不等式对任意恒成立.求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时,
,所以,所以在上是单调递增函数
…………4分
(Ⅱ),由得
在上是单调递增函数,所以
…………………8分
(Ⅲ)由得
所以,由得
在上是单调递增函数,所以
对任意恒成立.记
只需.对称轴
(1)当时,与矛盾.此时
(2)当时,,又,所以
(3)当时,
又
综合上述得:…………………12分
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