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湖北省荆门市三阳镇中学2023年高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)=2sin(x﹣)+1的周期、振幅、初相分别是( )
A.4π,﹣2, B.4π,2, C.2π,2,﹣ D.4π,2,﹣
参考答案:
D
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义.
【分析】由函数f(x)的解析式,可以求出它的周期、振幅和初相是什么.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(x﹣)+1,
∴ω=,周期T==4π;
振幅A=2;
初相φ=﹣.
故选:D.
2. 已知圆上任意一点关于直线的对称点也在圆上,则的值为( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
参考答案:
D
3. 若直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直,则a的值为( )
A.3 B.﹣3 C. D.
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.
【解答】解:∵直线ax+2y+a﹣1=0与直线2x+3y﹣4=0垂直,∴,解得a=﹣3.
故选:B.
4. 函数在区间[m,n]的值域为[1,4],则的取值范围是( ▲ )
A. [8,12] B. C. [4,12] D.
参考答案:
C
由题意得,函数在区间的值域为,
则当时,;当时,,
设,
其中表示点和点之间的距离,
当,此时取得最小值,所以,
当m=-2,n=2,此时取得最小值,所以zmax=12,
所以的取值范围是,故选C.
5. 如图是函数f(x)=sin(x+φ)一个周期内的图象,则φ可能等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【专题】数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质.
【分析】由题意和函数图象结合三角函数图象变换可得.
【解答】解:由题意可得函数图象可看作y=sinx向左平移φ的单位得到,
且平移的幅度不超过函数的四分之一周期即,
结合选项可得D符合题意,
故选:D.
【点评】本题考查三角函数图象和解析式,属基础题.
6. 已知,,,则m、n、p的大小关系( )
A.. B.
C. D.
参考答案:
略
7. 数列{}的前n项和为若则等于… ( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
B
8. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2-8x+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于( )
A. B.3 C.6 D.9
参考答案:
B
9. 函数的图象恒过定点 ( )
A.(2,2) B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0)
参考答案:
A
略
10. 已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3, =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4
参考答案:
A
【考点】BK:线性回归方程.
【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.
【解答】解:∵变量x与y正相关,
∴可以排除C,D;
样本平均数=3, =3.5,代入A符合,B不符合,
故选:A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知 且,则的最小值是 .
参考答案:
12. 若函数在处取得极值,则
参考答案:
3
由题意得,令,即,解得,即 .
13. 已知,,与的夹角为,且,则实数的值为 .
参考答案:
2
14. 函数f(x)=的定义域为[-1,2],则该函数的值域为_________.
参考答案:
15. ,则x=
参考答案:
略
16. 三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上,且SA=AC=SB=BC=2,SC=4,则该球的体积为 .
参考答案:
【考点】球的体积和表面积.
【分析】通过已知条件,判断SC为球的直径,求出球的半径,即可求解球的体积.
【解答】解:由题意,SA=AC=SB=BC=2,SC=4,
所以AC2+SA2=SC2,BC2+SB2=SC2,SC是两个截面圆SAC与SCB的直径,
所以SC是球的直径,球的半径为2,所以球的体积为.
故答案为:.
17. 已知数列{an}满足,且当时,,则an =______.
参考答案:
【分析】
变形递推关系式,再根据叠乘法求结果.
【详解】当时,,所以,
因此当时,
所以
因为当时,,所以.
【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知两个不共线的向量的夹角为,且为正实数.
(1)若与垂直,求在上的投影;
(2)若,求的最小值及对应的x的值,并指出此时向量与的位置关系.
(3)若为锐角,对于正实数m,关于x的方程有两个不同的正实数解,且,求m的取值范围.
参考答案:
(1)(2)当时,有最小值,垂直(3)
【分析】
(1)利用可得,再利用投影的定义计算即可.
(2)的平方是关于的二次函数,利用二次函数的性质可求其最小值及其对应的、向量和的关系.
(3) 对两边平方得到关于的一元二次方程,因为方程有两个正数解,故可得关于的不等式组,解这个不等式组可得的取值范围.
【详解】(1)由题意,得即
故
在上的投影为
(2)
故当时,取得最小值为
此时,
故向量与垂直.
(3)对方程两边平方,得①
设方程①的两个不同正实数解为,故,因为为锐角,
所以,故.
【点睛】向量的数量积有两个应用:(1)计算长度或模长,通过用 ;(2)计算角,.特别地,两个非零向量垂直的等价条件是.
19. 某颜料公司生产A、B两种产品,其中生产每吨A产品,需要甲染料1吨,乙染料4吨,丙染料2吨,生产每吨B产品,需要甲染料1吨,乙染料0吨,丙染料5吨,且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨,如果A产品的利润为300元/吨,B产品的利润为200元/吨,则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为( )
A. 14000元 B. 16000元 C. 16000元 D. 20000元
参考答案:
A
依题意,将题中数据统计如下表所示:
设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨,所获利润为元,依据题意得目标函数为,约束条件为欲求目标函数的最大值,先画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示,则点,,,,作直线,当移动该直线过点时,取得最大值,则也取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算,比较大小求得).故.所以工厂每天生产产品40吨,产品10吨时,才可获得最大利润,为14000元.选A.
点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
20. 某城市1991年底人口为500万,人均住房面积为6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为1%,则从1992年起,每年平均需新增住房面积为多少万m2,才能使2010年底该城市人均住房面积至少为24m2?(可参考的数据1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).
参考答案:
解 设从1992年起,每年平均需新增住房面积为x万m2,则由题设可得下列不等式
解得.
答 设从1992年起,每年平均需新增住房面积为605万m2.
21. (2016秋?建邺区校级期中)已知 a∈R,函数 f(x)=a﹣.
(1)证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
(2)若f(x)为奇函数,求:
①a的值;
②f(x)的值域.
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的值域;函数单调性的判断与证明.
【专题】证明题;转化思想;函数的性质及应用.
【分析】(1)证法一:设x1<x2,作差比较作差可得f(x1)<f(x2),根据函数单调性的定义,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:求导,根据f′(x)>0恒成立,可得:f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增.
(2)①若f(x)为奇函数,则 f(0)=0,解得a的值;
②根据①可得函数的解析式,进而可得f(x)的值域.
【解答】证明:(1)证法一:设x1<x2,
则,,
则f(x1)﹣f(x2)=(a﹣)﹣(a﹣)=<0.
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
证法二:∵函数 f(x)=a﹣.
∴f′(x)=,
∵f′(x)>0恒成立,
故f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;
(2)①若f(x)为奇函数,
则 f(0)=a﹣=0,
解得:a=,
②f(x)=﹣,
∵2x+1>1,
∴0<<1,
故﹣<f(x)<,
故函数的值域为:(﹣,).
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性,函数的奇偶性,函数的值域,难度中档.
22. 数列an中,a1=﹣3,an=2an﹣1+2n+3(n≥2且n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)设,证明{bn }是等差数列;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差关系的确定.
【分析】(1)由数列的递推公式求指定项,令n=2,3代入即可;
(2)由an=2an﹣1+2n+3及,只要验证bn﹣bn﹣1是个常数即可;
(3)根据(2)证明可以求得bn,进而求得an,从而求得sn.
【解答】解:(1)a2=2a1+2+3=1,a3=2a22+23+3=13
(2).
∴数列{bn }是公差为1的等差数列.
(3)由(2)得,∴an=(n﹣1)2n﹣3(n∈N*)
∴sn=0×21+1×22+…+(n﹣1)2n﹣3n
令Tn=0×21+1×22+…+(n﹣1)2n
则2Tn=0×22+1×23+…+(n﹣2)2n+(n﹣1)2n+1
两式相减得:﹣Tn=22+23+…+2n﹣(n﹣1)2n+1
==(2﹣n)2n+1﹣4
∴Tn=(n﹣2)2n+1+4
∴sn=(n﹣2)2n+1﹣3n+4.
【点评】考查数列的基本运算,和等差数列的证明方法,错位相减法求和问题,很好,属中档题.
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