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湖北省荆州市荆南高级中学高二数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 椭圆的左、右焦点分别为、,若椭圆上恰好有6个不同的点,使得为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
D
2. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第个
图案中有白色地面砖的块数是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
4. 已知函数,下面四个图象中的图象大致是 ( )
参考答案:
C
5. 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2+a3+a4=3,则S5=( )
A.5 B.7 C.9 D.11
参考答案:
A
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由题意和等差数列的性质可得a3,再由求和公式和等差数列的性质可得S5=5a3,代值计算可得.
【解答】解:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,a2+a3+a4=3,
∴3a3=a2+a3+a4=3,即a3=1,
∴S5===5a3=5,
故选:A.
6. 已知,,,不共线,其中共线的是( )
A. B.
C. D. 两两不共线
参考答案:
B
7. 在等比数列{an}中,a2=8,a5=64,则公比q为( )
A.2 B.3 C.4 D.8
参考答案:
A
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】题目给出了a2=8,a5=64,直接利用等比数列的通项公式求解q.
【解答】解:在等比数列{an}中,由,又a2=8,a5=64,
所以,,所以,q=2.
故选A.
8. 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是( )
A.a>3 B.a<﹣2 C.a>3或a<﹣2 D.a>3或﹣6<a<﹣2
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.
【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆,建立不等式,即可求得实数a的取值范围.
【解答】解:由题意,∵方程表示焦点在x轴上的椭圆,
∴a2>a+6>0,解得a>3或﹣6<a<﹣2
∴实数a的取值范围是a>3或﹣6<a<﹣2
故选D.
9. 某商品销售量(件)与销售价格(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
10. 的值是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域是 .
参考答案:
12. 已知等比数列为递增数列,且,
则数列的通项公式 ______________
参考答案:
略
13. 已知命题:, :,且“且”与“非”同时为假命题,则.
参考答案:
-2;
14. 函数f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为________.
参考答案:
15. 若向量、满足,且与的夹角为,则 。
参考答案:
略
16.
参考答案:
4
17. 设平面的法向量为(1,-2,2),平面的法向量为,若∥,则的值为 ▲
参考答案:
-4
设平面的法向量,平面的法向量,
因为∥,所以,所以存在实数,使得,
所以有,解得,故答案为.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆与相交于两点,
(1)求公共弦所在的直线方程;
(2)求圆心在直线上,且经过两点的圆的方程;(13分)
参考答案:
解析:(1)(6分)
(2)法1:由(1)得
,即A(-4,0),B(0,2),又圆心在直线上,
设圆心为M(x,-x)
则|MA|=|MB|,解得M(-3,3),(13分)
法2:圆系法略
19. (满分12分)
利用单调性的定义证明函数在上是减函数,并求函数在上的最大值和最小值
参考答案:
证明:任取,且,则 …………………………1分
…………………………4分
因为,所以,,
所以,即 …………………………7分
所以函数在上是减函数。 …………………………8分
解:因为函数在上是减函数,所以函数在上是减函数。
所以当时,函数在上的最大值是2,
所以当时,函数在上的最小值是。 …………………………12分
20. (本小题满分13分)
某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).
⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米,则其腰长应在什么范围内?
⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.
参考答案:
⑴,其中,,
∴ ,得, 由,得
∴; --------------------6分
⑵得∵ ∴腰长的范围是 ------10分
⑶,当并且仅当,即时等号成立.∴外周长的最小值为米,此时腰长为米。 ------13分
21. 等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
参考答案:
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】(I)由a1=2,a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可.
(Ⅱ)利用题中条件求出b3=8,b5=32,又由数列{bn}是等差数列求出.再代入求出通项公式及前n项和Sn.
【解答】解:(I)设{an}的公比为q
由已知得16=2q3,解得q=2
∴=2n
(Ⅱ)由(I)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32
设{bn}的公差为d,则有
解得.
从而bn=﹣16+12(n﹣1)=12n﹣28
所以数列{bn}的前n项和.
22. (本小题满分16分)已知椭圆的左、右顶点分别A、B,椭圆过点(0,1)且离心率。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于A,B两点的任意一点P作PH⊥轴,H为垂足,延长HP到点Q,且PQ=HP,过点B作直线轴,连结AQ并延长交直线于点M,N为MB的中点,试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系。
参考答案:
(1)因为椭圆经过点(0,1),所以,又椭圆的离心率得,
即,由得,所以,
故所求椭圆方程为。(6分)
(2)设,则,设,∵HP=PQ,∴
即,将代入得,
所以Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上。
又A(-2,0),直线AQ的方程为,令,则,
又B(2,0),N为MB的中点,∴,,
∴
,∴,∴直线QN与圆O相切。(16分)
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