湖北省荆州市郢都中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省荆州市郢都中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，则A∩B=（    ） A．{3} B．{1,2}   C．{2,3} D．{1,2,3} 参考答案： D 由题意，集合，，所以，故选D. 2. 已知i是虚数单位，且 的共轭复数为 ，则 等于   A．2           B．I         C．0                D．-l 参考答案： A 略 3. 命题“若函数在上是减函数，则”的否命题是（    ） A．若函数在上不是减函数，则 B．若函数在上是减函数，则 C．若，则函数在上是减函数 D．若，则函数在上不是减函数 参考答案： A 略 4. 为虚数单位的二项展开式中第七项为（   ）      A．       B．              C．          D． 参考答案： C 5. 已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（　　） A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80） B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25） C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25） D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11） 参考答案： D 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x）， ∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x）， 即函数的周期是8， 则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1）， f（80）=f（0）， f（﹣25）=f（﹣1）， ∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数， ∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数， ∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1）， 即f（﹣25）＜f（80）＜f（11）， 故选：D 6. 当a > 0时，函数的图象大致是(   ) 参考答案： B 略 7. 等差数列的前项和为，已知，则 A．B．C．D． 参考答案： C 8. 函数的定义域为 (     ） A．        B．        C．          D． 参考答案： D 9. 函数的图象大致为 参考答案： C 10. 一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是(   ) A．1025 B．1035 C．1045 D．1055 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角，那么整数的值为　　　　． 参考答案： 112. 记函数的定义域为，若存在使得成立，则称点是函数图像上的“稳定点”．若函数的图像上有且仅有两个相异的稳定点，则实数的取值范围为________ . 参考答案： 或且 13. 已知球面面积为16π，A，B，C为球面上三点，且AB=2，BC=1，AC=，则球的半径为          ；球心O到平面ABC的距离为           . 参考答案： 答案：2,    14. 已知长方体同一顶点上的三条棱，、分别为、的中点，则四棱锥外接球的体积为______________ 参考答案： 15. 设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=　　． 参考答案： ﹣ 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即 θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值． 【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x+α）取得最大值， （其中，cosα=，sinα=﹣）， ∴θ+α=2kπ+，k∈z，即 θ=2kπ+﹣α，k∈z， ∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题． 16. 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长的棱为_________． 参考答案： 3 由三视图得到该几何体如图， CD=1，BC=，BE=，CE=2，DE=3； 所以最大值为3，故最长边为DE=3； 故答案为：3．   17. 设函数，，对任意，，不等式恒成立，则正数的取值范围是________. 参考答案： . 考点：1.导数的运用；2.转化的数学思想. 【名师点睛】高考中一些不等式的证明或求解需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）【选修4-4：极坐标和参数方程】 在直角坐标系中，直线的倾斜角为且经过点．以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）若直线与曲线有公共点，求的取值范围； （Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. （Ⅰ）将C的极坐标方程化为直角坐标为,.........1分 直线的参数方程为………………...................2分 将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得.......………3分 直线与曲线有公共点， 得         的取值范围为.............……………………5分 （Ⅱ）曲线C的方程， 其参数方程为................………………………7分 为曲线C上任意一点， ..........9分 的取值范围是...........................………………………10分 19. （本小题满分12分） 2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示： 等 级 一级 二级 三级 四级 频 率 0.30 0.10 现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率. 参考答案： (Ⅰ)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20. ……………………２分 所以.                                  ……………………4分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家. ……………………６分 记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为,，则从中抽取2家公司，不同的结果为（Ａ，B）（Ａ，C）（Ａ，D）（B，C）（B，D）（C，D）（Ａ，）（Ａ，）（B，）（B，）（C，）（C，）（D，）（D，）（，）…共15种，………８分 记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（Ａ，B）（Ａ，C）（Ａ，D）（B，C）（B，D）（C，D）…共6种，……………………１０分 所以.        ……………………12分 20. 在极坐标系中，曲线的方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的方程为（为参数）. （1）求曲线的参数方程和曲线的普通方程； （2）求曲线上的点到曲线的距离的最大值. 参考答案： （1）曲线的参数方程为（为参数）     曲线的普通方程为    （2）设曲线上任意一点，点到的距离              ∵   ∴        所以曲线上的点到曲线的距离的最大值为 21. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为, P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为. (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程; (2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值. 参考答案： (1)曲线的方程为, 点的直角坐标为(0,3) 直线的参数方程为(参数). (2)设,将直线的参数方程代入曲线的方程得 整理得, 由韦达定理可知,, 则 22. （本小题13分）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD，侧面底面ABCD，且为等腰直角三角形，，M为AP的中点. （I）求证：       （II）求证：DM//平面PCB； （III）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 命题意图:考查立体几何平行、垂直的证明，空间向量法求二面角.中等题. 参考答案： 解法一：（I）取的中点，连结． ，     …………2分 ，且， 是正三角形，, 又, 平面． ．           …………………4分    （II）取的中点，连结． 分别为的中点， ，且． ∵四边形是直角梯形，且， 且．                 …………………………6分 ∴四边形是平行四边形． ． 平面，平面 平面．                      …………………………8分    （III）延长与交点为，连结． 过作于一定， 连结，则． 为平面与平面所成锐二面角的平面角．  …………10分 设,则, ． 又因为, 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．  …………13分 解法二：（I）同解法一    （II） ∵侧面底面， 又，      底面． ． ∴直线两两互相垂直， 故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则可求得 ， ． ． 设是平面的法向量，则且． 取，得．      …………6分 是的中点， ． ． ． ． 平面， 平面． ………………………8分 （III）又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为, 则,…………10分 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………13分