湖北省荆州市综合中学2023年高二数学文上学期期末试题含解析

湖北省荆州市综合中学2023年高二数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 按如下程序框图，若输出结果为，则判断框内应补充的条件为（      ） (A)  ？    (B)  ？      (C)  ？       ( D)  ？ 参考答案： C 2. 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为（　　） A．5π B．π C．20π D．4π 参考答案： A 【考点】球的体积和表面积． 【分析】根据题意，证出BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径．利用勾股定理结合题中数据算出PB=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积 【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC， ∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径； ∵Rt△PBA中，AB=，PA= ∴PB=，可得外接球半径R=PB= ∴外接球的表面积S=4πR2=5π 故选A． 　 3. 如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（　　） A．＜ B．＞C．ab＞b2 D．a2＞ab 参考答案： B 【考点】不等式比较大小． 【分析】利用不等式的基本性质即可得出． 【解答】解：∵a＞b＞0， ∴ab＞b2，a2＞ab，即为，因此A，C，D正确，而B不正确． 故选：B． 　 4. 已知集合，，则    A.       B. {－2}      C. {3}       D. {－2,3} 参考答案： D 5. 若，则的解集为                      (    )  A.        B.      C.           D. 参考答案： C 略 6. 数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。现从中任意选取6人分成两组分配到A,B两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是 A. 220                      B.440                 C. 255               D.510 参考答案： D 7. 函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】3O：函数的图象． 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当﹣1＜x＜1时，得到y＞0，即可判断． 【解答】解：y=f（﹣x）===f（x），且定义域为{x|x≠±1} ∴f（x）为偶函数， 当﹣1＜x＜1时，cosx＞0，ln|x|＜0， ∴y＞0， 故选：D 8. 对任意实数x，若不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．m≤2 D．﹣2≤m≤2 参考答案： B 【考点】指、对数不等式的解法． 【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用． 【分析】由已知（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围． 【解答】解：∵对任意实数x，不等式4x﹣m?2x+1＞0恒成立， ∴（2x）2﹣m?2x+1＞0恒成立， ∴△=m2﹣4＜0， 解得﹣2＜m＜2． 故选：B． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用． 9. 已知，则m与n之间的大小关系是（   ） A. m＞n B. m＜n C. m=n D. 不确定 参考答案： A 【分析】 由基本不等式可得，由二次函数和指数函数的值域可得，从而可得结果. 【详解】由题意可得， 当且仅当时取等号， 当时，，指数函数单调递减， 故，即，故选A. 【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个数的大小，指数函数与二次函数的性质，属于中档题. 比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法. 10. 双曲线的焦距为（      ）    A、 B、 C、 D、 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题存在．若命题是假命题，则实数的取值范围是            ． 参考答案： (0,1) 12. 4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是        ；男、女各排在一起的概率是       ；男女间隔排列的概率是_____ 参考答案： ，， 13. 计算，可以采用以下方法：构造等式： ，两边对x求导， 得，在上式中令， 得．类比上述计算方法， 计算_________． 参考答案： 略 14. 命题“”的否定是          ． 参考答案： 15. 若函数的单调减区间为，则     ，     。 参考答案：     16. 已知向量满足则，则        。 参考答案： 略 17.  抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是                    。 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点． （1）求证：； （2）若E为PB的中点，且二面角A-PB-D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角的正弦值．   参考答案： （1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC， 因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE?平面PBD，∴AC⊥DE．          （4分） （2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD， 所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，                        （5分） 设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0）， E（0，0，），P（0，﹣，t）． 设平面PAB的一个法向量为（x，y，z）， 则 ，令， 得， 平面PBD的法向量（1，0，0）， 因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以 ， 所以或（舍），                             （9分） 则 ∴， ∴EC与平面PAB所成角的正弦值为． （12分） 19. 为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛。 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计。请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表，解答下列问题： （1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第五组第一位学生的编号； （2）填充频率分布表的空格(直接填在表格内) ，并作出频率分布直方图； （3）若成绩在85.5~95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 分组 频数 频率 60.5~70.5   0.16 70.5~80.5 10   80.5~90.5 18 0.36 90.5~100.5     合计 50   参考答案：   20. （14分）形状如图所示的三个游戏盘中（图（1）是正方形，M、N分别是所在边中点，图（2）是半径分别为2和4的两个同心圆，O为圆心，图（3）是正六边形，点P为其中心）各有一个玻璃小球，依次水平摇动三个游戏盘，当小球静止后，就完成了一局游戏． （Ⅰ）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？ （Ⅱ）用随机变量ξ表示一局游戏后，小球停在阴影部分的事件个数与小球没有停在阴影部分的事件个数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望． 参考答案： （I）“一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分”分别记为事件A1、A2、A3， 由题意知，A1、A2、A3互相独立，且P（A1）=，P（A2）==，P（A3）= ∴P（A1 A2 A3）=P（A1），P（A2） P（A3）==； （II）一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的事件数可能是0，1，2，3，相应的小球没有停在阴影部分的事件数可能取值为3，2，1，0，所以ξ可能的取值为1，3，则P（ξ=3）=P（A1 A2 A3）+P（）=+= P（ξ=1）=1﹣= 所以分布列为 ξ 1 3 P ∴数学期望Eξ=1×+3×= 21. （本小题满分16分） 某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.（1）试求和；  （2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.   参考答案： 解：（1），.．...........................4分  （2）因为，所以，， ，由此猜想：当时，都有，即. 下面用数学归纳法证明（）. ...........................6分 ①时，该不等式显然成立. ..................................... ..8分 ②假设当时，不等式成立，即，. ...............10分 则当时，， 要证当时不等式成立.只要证：， 只要证：.. ............................................. ...13分   令，因为，所以在上单调递减， 从而，而，所以成立. 则当时，不等式也成立. ....................................... ...15分 综合①、②得原不等式对任意的均成立............................ ...16分   22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA=PD=AD=2，∠BAD=60°，Q为AD中点． （1）求证：AD⊥PB； （2）若平面PAD⊥平面ABCD，且M为PC的中点，求四棱锥M﹣ABCD的体积． （3）在（2）的条件下，求二面角P﹣AB﹣D的正切值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理先证明AD⊥平面PQB即可． （2）连接QC，作MH⊥QC与H，根据棱锥的体积公式进行求解即可． （3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，得到∠POQ即为二面角P﹣AB﹣D的平面角，利用三角形的边角关系进行求解． 【解答】证明：（1）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD， 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD， 又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB， 又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB； （2）连接QC，作MH⊥QC与H ∵PQ⊥AD，PQ?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴平面PAD⊥平面ABCD ∴PQ⊥平面ABCD，又QC?平面ABCD，PQ⊥QC， ∴PQ∥MH∴MH⊥平面ABCD， 又PM=PC，∴MH=PQ==， 在菱形ABCD中，BD=2， S△ABD==， ∴SABCD=2S△ABD=2，