湖北省荆州市石首沙岭子中学高三数学理期末试卷含解析

湖北省荆州市石首沙岭子中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，若，则  （     ） A.          B.            C. 或        D. 或 参考答案： D 略 2. 函数的值域是（    ）   A.          B.        C.         D. 参考答案： B 因为函数在区间上单调递增,在区间上单调递增减,且,所以函数在区间上的值域是.故选B 3. 已知F1，F2是双曲线 (a>0，b>0)的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 (A)(1，2)    (B)(1，)   （C）(1,5)   (D)( ，+) 参考答案： B 略 4. 已知等比数列前项和为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 参考答案： C 略 5. （5分）（2015?嘉兴二模）计算：log43?log92=（　　） 　 A． B． C． 4 D． 6 参考答案： A 【考点】： 对数的运算性质． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 利用对数的换底公式、运算法则即可得出． 解：log43?log92==， 故选：A． 【点评】： 本题考查了对数的换底公式、运算法则，属于基础题． 6. 右图是一个算法的流程图，最后输出的W=（    ） A．18             B． 16            C．14            D．12 参考答案： B 第一次进入循环：； 第二次进入循环：； 第三次进入循环：； 第四次进入循环：； 第五次进入循环：； 第六次进入循环：，结束此时输出W的值为。 7. （理）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，点B到平面EFG的距离为            （    ）     A．             B．　        C．            D． 参考答案： B 8. 设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为                                                              （    ） （A）     （B）     （C）    （D） 参考答案： D 由题意得，双曲线的方程，可知， 又椭圆的离心率为，即，所以， 则，所以，故选D.   9. 过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于 A． B． C． D． 参考答案： B 10. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若数列的通项公式，记，则 _________     参考答案： 略 12. 设复数，其中，则________． 参考答案： 略 13. 如右图所示的程序框图，运行后输出的结果是             . 参考答案： 30 略 14. 有下列各式：1++＞1，1++…+＞，1+++…+＞2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：　    　． 参考答案：   【考点】归纳推理． 【分析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项， 不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为，由此可写出一般的式子． 【解答】解：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n+1﹣1项， 不等式右侧分别写成，，故猜想第n个式子中应为， 按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： 故答案为： 【点评】本题考查归纳推理、考查观察、分析、解决问题的能力． 　 15. 已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α＝________. 参考答案： 16. 已知实数满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为 . 参考答案： 略 17. 的二项展开式中的系数是            （用数字作答）． 参考答案： 解析：，所以，系数为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}，{bn}，a1=1，bn=（1﹣），n∈N+，设数列{bn}的前n项和为Sn （1）若an=2n﹣1，求Sn （2）是否存在等比数列{an}，使bn+2=Sn对任意n∈N+恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{an}的通项公式；若不存在，说明理由 （3）若a1≤a2≤…≤an≤…，求证：0≤Sn＜2． 参考答案： 考点： 数列与不等式的综合；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法． 分析： （1）通过an=2n﹣1可得bn=，利用等比数列的求和公式计算即可； （2）设an=qn﹣1，通过bn+2=S2，令n=1即b3=b1计算可得q=±1，进而可得结论； （3）通过1=a1≤a2≤…≤an≤…，易得Sn≥0，利用放缩法可得bn≤2（﹣），并项相加即得结论． 解答： （1）解：当an=2n﹣1时，bn=（1﹣）?=． ∴Sn=（1+++…+）=﹣； （2）结论：满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=（﹣1）n﹣1． 证明：在bn+2=S2中，令n=1，得b3=b1． 设an=qn﹣1，则bn=， 由b3=b1，得=?． 若q=±1，则bn=0，满足题设条件． 此时an=1和an=（﹣1）n﹣1． 若q≠±1，则=，即q2 =1，矛盾． 综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=（﹣1）n﹣1． （3）证明：∵1=a1≤a2≤…≤an≤…， ∴an＞0，0＜≤1，于是0＜≤1． ∴bn=（1﹣）≥0，n=1，2，3，… ∴Sn=b1+b2+…+bn≥0， 又bn=（1﹣） =（1+）（1﹣）? =（1+）（﹣）? ≤2（﹣）． ∴Sn=b1+b2+…+bn≤2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣） =2（﹣） =2（1﹣） ＜2， ∴0≤Sn＜2． 点评： 本题考查求数列的通项，考查求数列的和，利用放缩法及并已改项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 19. (本小题满分12分) 已知函数，（其中），且函 数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线重合． （1）求实数的值； （2）记函数，是否存在最小的正常数，使得当时，对于任意正实数，不等式 恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性． 参考答案： （1），；（2）存在最小的正常数. 试题分析：（1）由及可解得；（2） ，构造函数，则问题就是求 恒成立，对求导，设极值点为，存在最小正常数，当时，对于任意正实数，不等式恒成立. 所以函数在区间和上各有一个零点，令为和 ，并且有在区间和上，，即；在区间上，，即。从而可知函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增。，当时，；当时，.  （10分） 还有是函数的极大值，也是最大值。题目要找的，理由：   考点：1、利用导数求切线斜率及函数的单调性；2、利用导数证明不等式恒成立问题. 【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率 、利用导数证明不等式恒成立问题，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 20. 设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为的直角三角形．过Ｂ1作直线l交椭圆于P、Q两点． (1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若，求直线l的方程； (3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈，求△B2PQ的面积的取值范围． 参考答案： 解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90o，得c=2b…………1分 在Rt△AB1B2中，，从而.………………3分 因此所求椭圆的标准方程为： …………………………………………4分 (2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,…………………………6分 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ，又，所以 ………………………………8分 由，得=0，即，解得；   所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x–2y+2=0……………………10分  (3) 当斜率不存在时，直线，此时，………………11分 当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离， 因此t=，得………………………………………13分 联立方程组：得，由韦达定理知， ，所以， 因此. 设，所以，所以…15分 综上所述：△B2PQ的面积……………………………………………16分 略 21. 已知直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，直线l过曲线C的左焦点F． （1）直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|； （2）设曲线C的内接矩形的周长为c，求c的最大值． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）曲线C与直线联立，利用参数的几何意义，求|AB|； （2）设矩形的第一象限的顶点为，所以，即可求c的最大值． 【解答】解：（1）曲线，∴，曲线C与直线联立得，方程两根为t1，t2，则． （2）设矩形的第一象限的顶点为，所以， 所以当sin（θ+φ）=1时，c最大值为． 22. （本小题满分12分） 如图5，已知四棱柱的俯视图是边长为的正方形，侧视图是长为宽为的矩形． ⑴求该四棱柱的体积； ⑵取的中点，证明：面面． 参考答案： ⑴依题意，四棱柱的底面是矩形，侧面与底面垂直，过作底面垂线的垂足是的中点，四棱柱的体积……2分，……3分， ……5分，……6分 ⑵连接，依题意是正三角形……8分，所以……8分， 又面……10分，面，所以……10分， 因为，所以面……， 因为面，面面……12分． 略