湖北省荆州市石首陀阳中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省荆州市石首陀阳中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 A．        B．         C．   D． 参考答案： B 略 2. 关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是(  ) A．(－∞，－1) B．（，0） C．(，0) D．(0，2 参考答案： A 3. “m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的（　　） A．充分必要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m即可判断出结论． 【解答】解：函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数，则3≤3m，解得m≥1． ∴“m=1”是“函数f（x）=x2﹣6mx+6在区间（﹣∞，3]上为减函数”的充分不必要条件． 故选：C． 4. 以下判断正确的个数是（　　） ①相关系数r，|r|值越小，变量之间的相关性越强． ②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“不存在x∈R，x2+x﹣1≥0”． ③“p∨q”为真是“￢p”为假的必要不充分条件． ④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程是=1.23x+0.08． A．4 B．2 C．3 D．1 参考答案： B 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断． ②特称命题的否定是全称命题进行判断 ③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断， ④根据回归方程的性质代入进行求解判断． 【解答】解：①相关系数|r|值越小，变量之间的相关性越弱，故错误． ②命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1≥0”，故错误． ③“p∨q”为真时，“?p”为假不一定成立，故“p∨q”为真是“?p”为假的不充分条件， “?p”为假时，“p”为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“?p”为假的必要条件， 故“p∨q”为真是“?p”为假的必要不充分条件，故正确； ④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则a=5﹣1.23×4=0.08，则回归直线方程是=1.23x+0.08，故正确； 故选：B 5. 四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E， F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为 （A）12π （B）24π （C）36π （D）48π 参考答案： A 6. 若实数a，b满足，且ab=0，则称a与b互补，记=0是a是b互补的 A．充分而不必要条件    B．必要而不充分案件    C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 7. 下列关于零向量的说法不正确的是(　　) A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的方向是任意的 C．零向量与任一向量共线 D．零向量只能与零向量相等 参考答案： A 8. 函数的最小正周期是          A．                               B．                                  C．                                  D． 参考答案： C 根据正切函数的周期公式可知最小正周期为，选C. 9. 若向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A．       B．       C．       D． 参考答案： 10. 已知 ，则函数 在区间(1，2)上存在一个零点的概率为   (A)            (B)               (C)              (D) 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为___________． 参考答案： 略 12. 已知正数满足，则的最大值为    　　    ． 参考答案： 8  略 13. 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边长为a，b，c，若，△ABC的面积为，则△ABC外接圆的面积=______． 参考答案： 4π 【分析】 由已知利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可以求得，再利用正弦定理可求得外接圆半径，进而得解三角形外接圆的面积． 【详解】在中，∵， ∴， ∴由余弦定理得：，解得； ∴由正弦定理得：， ∴，可得：外接圆的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，重点考查正弦定理及余弦定理的应用，属于基础题． 14. 若，则直线被圆所截得的弦长为  _____________. 。 参考答案： 略 15. 已知数列为等差数列，若，，则的前项的和_____. 参考答案： 16. 在平面四边形ABCD中，，，，则CD的取值范围是___________． 参考答案： 【分析】 首先补全平面四边形，成为等腰直角三角形，在内平移直线都能满足条件，通过数形结合，分析的两个临界点得到的取值范围. 【详解】如图1，延长和交于点，由已知可知是等腰直角三角形， 直线向下平移，当点和点重合时，如图2， 此时，，， 中，根据正弦定理可知， ， 解得：, 图1的向上平移，当重合于点时，此时, 的取值范围是. , 故答案为： 【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是通过平行移动，根据临界点分析出的长度. 17. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法．若输入 m=209 ,n=121 , ?则输出m= _________． 参考答案： 11 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．　 （1）当时，求曲线和曲线的交点的直角坐标； （2）当时，设，分别是曲线与曲线上动点，求的最小值． 参考答案： 解：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为． 联立消去得，∴或， ∵， ∴，∴，∴． （2）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为， 则曲线的圆心到直线的距离，因为圆的半径为1， ∴的最小值为． 19. 根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表： 降水量 工期延误天数 0 1 3 6 根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示. （1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数的频率； （2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差. 参考答案： （1）∵的天数为，∴的频率为. ∵的天数为，∴的频率为. ∵的天数为，∴的频率为. ∵的天数为，∴的频率为. （2）的分布列为 0 1 3 6 0.5 0.3 0.1 0.1 . . 20.     已知函数（）的图象过点. （1）求的值； （2）设，求的值. 参考答案： 解：（1）依题意得，， ∵  ∴∴，∴ （2）∵   ∴， 又∵    ∴， ∵， ∴，， ∴. 略 21. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点． （1）求证：GH∥平面DEM； （2）求证：EM⊥CN； （3）求直线GH与平面NFC所成角的大小． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH∥平面DEM； （2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN； （3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小． 【解答】证明：（1）连结NG，EN， ∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD． ∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD， ∴NG∥EH，NG=EH， ∴四边形ENGH是平行四边形， ∴GH∥EN，又GH?平面DEM，EN?平面DEM， ∴GH∥平面DEM． （2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形， ∴MH⊥EF， 取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE， ∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E， ∴DE⊥平面MEF， ∴PH⊥平面MEF． 以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）． ∴=（，1，0），=（﹣，，1）． ∴=+1×+0×1=0． ∴． ∴EM⊥NC． （3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1）， ∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1）， 设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即． 令y=1得=（，1，0）， ∴cos＜＞==． ∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为， ∴直线GH与平面NFC所成角为． 22. 已知函数. (1)当时,求函数的单调区间; (2)若函数有两个极值点,且,求证:; (3)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围. 参考答案： 解: (1)当时,, 令或,, 的递增区间为和,递减区间为. (2)由于有两个极值点,则有两个不等的实根, 设 ,在上递减, ,即. (3), ,,在递增, , 在上恒成立 令, 则在上恒成立 ,又 当时，,在(2,4)递减,,不合; 当时,, ①时,在(2,)递减,存在,不合; ②时, 在(2,4)递增,,满足. 综上, 实数的取值范围为.     略