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湖北省荆州市石首陀阳中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 关于x的函数在上为减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(,0) C.(,0) D.(0,2
参考答案:
A
3. “m=1”是“函数f(x)=x2﹣6mx+6在区间(﹣∞,3]上为减函数”的( )
A.充分必要条件 B.既不充分又不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】函数f(x)=x2﹣6mx+6在区间(﹣∞,3]上为减函数,则3≤3m,解得m即可判断出结论.
【解答】解:函数f(x)=x2﹣6mx+6在区间(﹣∞,3]上为减函数,则3≤3m,解得m≥1.
∴“m=1”是“函数f(x)=x2﹣6mx+6在区间(﹣∞,3]上为减函数”的充分不必要条件.
故选:C.
4. 以下判断正确的个数是( )
①相关系数r,|r|值越小,变量之间的相关性越强.
②命题“存在x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“不存在x∈R,x2+x﹣1≥0”.
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件.
④若回归直线的斜率估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程是=1.23x+0.08.
A.4 B.2 C.3 D.1
参考答案:
B
【考点】2K:命题的真假判断与应用.
【分析】①根据相关系数r的大小与相关性强弱的关系进行判断.
②特称命题的否定是全称命题进行判断
③根据复合命题与充分条件和必要条件的定义进行判断,
④根据回归方程的性质代入进行求解判断.
【解答】解:①相关系数|r|值越小,变量之间的相关性越弱,故错误.
②命题“存在x∈R,x2+x﹣1<0”的否定是“任意x∈R,x2+x﹣1≥0”,故错误.
③“p∨q”为真时,“?p”为假不一定成立,故“p∨q”为真是“?p”为假的不充分条件,
“?p”为假时,“p”为真,“p∨q”为真,故“p∨q”为真是“?p”为假的必要条件,
故“p∨q”为真是“?p”为假的必要不充分条件,故正确;
④若回归直线的斜率估计值是1.23,样本点的中心为(4,5),则a=5﹣1.23×4=0.08,则回归直线方程是=1.23x+0.08,故正确;
故选:B
5. 四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,E, F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球的表面积为
(A)12π (B)24π (C)36π (D)48π
参考答案:
A
6. 若实数a,b满足,且ab=0,则称a与b互补,记=0是a是b互补的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分案件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
C
7. 下列关于零向量的说法不正确的是( )
A.零向量是没有方向的向量
B.零向量的方向是任意的
C.零向量与任一向量共线
D.零向量只能与零向量相等
参考答案:
A
8. 函数的最小正周期是
A. B. C. D.
参考答案:
C
根据正切函数的周期公式可知最小正周期为,选C.
9. 若向量,满足,,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
10. 已知 ,则函数 在区间(1,2)上存在一个零点的概率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点且平行于极轴的直线的极坐标方程为___________.
参考答案:
略
12. 已知正数满足,则的最大值为 .
参考答案:
8
略
13. 在△ABC中,内角A,B,C所对应的边长为a,b,c,若,△ABC的面积为,则△ABC外接圆的面积=______.
参考答案:
4π
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求得,利用余弦定理可以求得,再利用正弦定理可求得外接圆半径,进而得解三角形外接圆的面积.
【详解】在中,∵,
∴,
∴由余弦定理得:,解得;
∴由正弦定理得:,
∴,可得:外接圆的面积.
故答案为:.
【点睛】本题考查正弦定理的应用,重点考查正弦定理及余弦定理的应用,属于基础题.
14. 若,则直线被圆所截得的弦长为 _____________. 。
参考答案:
略
15. 已知数列为等差数列,若,,则的前项的和_____.
参考答案:
16. 在平面四边形ABCD中,,,,则CD的取值范围是___________.
参考答案:
【分析】
首先补全平面四边形,成为等腰直角三角形,在内平移直线都能满足条件,通过数形结合,分析的两个临界点得到的取值范围.
【详解】如图1,延长和交于点,由已知可知是等腰直角三角形,
直线向下平移,当点和点重合时,如图2,
此时,,,
中,根据正弦定理可知,
,
解得:,
图1的向上平移,当重合于点时,此时,
的取值范围是.
,
故答案为:
【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算,意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力,本题的关键是通过平行移动,根据临界点分析出的长度.
17. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法.若输入 m=209 ,n=121 , ?则输出m= _________.
参考答案:
11
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)当时,求曲线和曲线的交点的直角坐标;
(2)当时,设,分别是曲线与曲线上动点,求的最小值.
参考答案:
解:(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为.
联立消去得,∴或,
∵,
∴,∴,∴.
(2)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,
则曲线的圆心到直线的距离,因为圆的半径为1,
∴的最小值为.
19. 根据以往的经验,某建筑工程施工期间的降水量(单位:)对工期的影响如下表:
降水量
工期延误天数
0
1
3
6
根据某气象站的资料,某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据,绘制得到降水量的折线图,如下图所示.
(1)根据降水量的折线图,分别求该工程施工延误天数的频率;
(2)以(1)中的频率作为概率,求工期延误天数的分布列及数学期望与方差.
参考答案:
(1)∵的天数为,∴的频率为.
∵的天数为,∴的频率为.
∵的天数为,∴的频率为.
∵的天数为,∴的频率为.
(2)的分布列为
0
1
3
6
0.5
0.3
0.1
0.1
.
.
20. 已知函数()的图象过点.
(1)求的值;
(2)设,求的值.
参考答案:
解:(1)依题意得,,
∵ ∴∴,∴
(2)∵ ∴,
又∵ ∴,
∵,
∴,,
∴.
略
21. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DE⊥AB于E,CF⊥AB于F,且AE=BF=EF=2,DE=CF=2.将△AED和△BFC分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合,记为点M,得到一个四棱锥M﹣CDEF,点G,N,H分别是MC,MD,EF的中点.
(1)求证:GH∥平面DEM;
(2)求证:EM⊥CN;
(3)求直线GH与平面NFC所成角的大小.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)连结NG,EN,则可证四边形ENGH是平行四边形,于是GH∥EN,于是GH∥平面DEM;
(2)取CD的中点P,连结PH,则可证明PH⊥平面MEF,以H为原点建立坐标系,求出和的坐标,通过计算=0得出EM⊥CN;
(3)求出和平面NFC的法向量,则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos<>|,从而得出所求线面角的大小.
【解答】证明:(1)连结NG,EN,
∵N,G分别是MD,MC的中点,∴NG∥CD,NG=CD.
∵H是EF的中点,EF∥CD,EF=CD,∴EH∥CD,EH=CD,
∴NG∥EH,NG=EH,
∴四边形ENGH是平行四边形,
∴GH∥EN,又GH?平面DEM,EN?平面DEM,
∴GH∥平面DEM.
(2)∵ME=EF=MF,∴△MEF是等边三角形,
∴MH⊥EF,
取CD的中点P,连结PH,则PH∥DE,
∵DE⊥ME,DE⊥EF,ME∩EF=E,
∴DE⊥平面MEF,
∴PH⊥平面MEF.
以H为原点,以HM,HF,HP为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则E(0,﹣1,0),M(,0,0),C(0,1,2),N(,﹣,1).
∴=(,1,0),=(﹣,,1).
∴=+1×+0×1=0.
∴.
∴EM⊥NC.
(3)F(0,1,0),H(0,0,0),G(,,1),
∴=(,,1),=(0,0,2),=(﹣,,1),
设平面NFC的法向量为=(x,y,z),则,即.
令y=1得=(,1,0),
∴cos<>==.
∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为,
∴直线GH与平面NFC所成角为.
22. 已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,且,求证:;
(3)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.
参考答案:
解:
(1)当时,,
令或,,
的递增区间为和,递减区间为.
(2)由于有两个极值点,则有两个不等的实根,
设
,在上递减,
,即.
(3),
,,在递增,
,
在上恒成立
令,
则在上恒成立
,又
当时,,在(2,4)递减,,不合;
当时,,
①时,在(2,)递减,存在,不合;
②时, 在(2,4)递增,,满足.
综上, 实数的取值范围为.
略
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