湖北省荆门市绿林文武中学2022年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a，b，c∈R，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】A.与的大小不确定，所以该选项错误；
B.,所以该选项错误；
C.,所以该选项错误；
D.,所以该选项正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
2. 若函数，则对不同的实数，函数的单调区间的个数有可能的是（ ）
A． 1个 或 2个 B．2个 或 3个 C．3个 或 4个 D．2个 或 4个
参考答案：
D
略
3. 若函数的图像与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是
A．0
．
10. 等差数列，满足，则（ ）
A. n的最大值为50 B. n的最小值为50
C. n的最大值为51 D. n的最小值为51
参考答案：
A
【分析】
首先数列中的项一定满足既有正项，又有负项，不妨设，由此判断出数列为偶数项，利用配凑法和关系式的变换求出的最大值.
【详解】为等差数列，则使，所以数列中的项一定有正有负，不妨设，因为为定值，故设，且，解得.若且，则，同理若，则.所以，所以数列的项数为，所以，由于，所以，解得，故，故选A.
【点睛】本小题主要考查数列的通项公式的应用，考查等差数列求和公式的应用，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列的通项公式，则该数列第________项最大．
参考答案：
2
略
12. 已知数列{an}满足a1=1，an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N*），则a4= ．
参考答案：
13
考点：数列递推式．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1可得a2，a3，a4即可．
解答： 解：∵an=an﹣1+2n（n≥2，n∈N*），a1=1；
∴a2=a1+2=3，a3=a2+2?2=3+4=7，
a4=a3+2?3=7+6=13，
故答案为：13．
点评：本题考查了数列递推公式的应用，属于基础题．
13. 设全集U＝{a，b，c，d，e}，A＝{a，c，d}，B＝{b，d，e}，则?UA∩?UB＝________.
参考答案：
14. 若向量则 。
参考答案：
解析：由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
15. 已知，，，则的大小关系是 （用“”连接）．
参考答案：
16. 若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为______．
参考答案：
{－3，3}
【分析】
根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出a的值．
【详解】因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，
所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，0)．
令x2-2x+1=4得：x2-2x-3=0，
解得：x=-1或3，
所以a+2=-1或a=3，
即：a=-3或3．
故答案为：{-3，3}
【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问题．
17. （5分）在△ABC中，=，=，若点D满足=2，则= （用向量、表示）．
参考答案：
+
考点： 平行向量与共线向量．
专题： 平面向量及应用．
分析： 根据三角形法则，写出 的表示式，根据点D的位置，得到 与 之间的关系，根据向量的减法运算，写出最后结果．
解答： 如图所示，在△ABC中，
=+
又=2，∴=．
∵=﹣=﹣
∴=+=+（﹣）=+．
故答案为：+．
点评： 本题考查向量的加减运算，考查三角形法则，是一个基础题，是解决其他问题的基础．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，且，求和的值.
参考答案：
略
19. （本题16分）设函数（＞0且，），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值，判断并证明当a＞1时，函数f（x）在R上的单调性；
（2）已知f（1）=，函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），，求g（x）的值域；
（3）已知a=3，若f（3x）≥λ?f（x）对于时恒成立．请求出最大的整数λ．
参考答案：
（Ⅰ）∵f（x）=kax﹣a﹣x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1，∴f（x）=ax﹣a﹣x，
∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是R上的奇函数，
设x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）=ax2﹣a﹣x2）﹣（ax1﹣a﹣x1）=（ax2﹣ax1）（1+），
∵a＞1，∴ax2＞ax1，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）∵f（1）=，∴a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣（舍去），
则y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），，令t=2x﹣2﹣x，，
由（1）可知该函数在区间上为增函数，则﹣，，
则y=h（t）=t2﹣2t+2，﹣，，
当t=﹣时，ymax=；当t=1时，ymin=1，∴g（x）的值域为[1，，
（Ⅲ）由题意，即33x+3﹣3x≥λ（3x﹣3﹣x），在时恒成立
令t=3x﹣3﹣x，x∈[1，2]，则，
则（3x﹣3﹣x）（32x+3﹣2x+1）≥λ（3x﹣3﹣x），恒成立，即为t（t2+3）≥λ?t，t恒成立，
λ≤t2+3，t恒成立，当t=时，（t2+3）min=，∴λ≤，则λ的最大整数为10．
20. 已知函数，g（x）=3ax+1﹣a，h（x）=f（x）+g（x）．
（1）当a=1时，判断函数h（x）在（1，+∞）上的单调性及零点个数；
（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）结合反比例函数的单调性和复合函数的单调性，可得函数在（1，+∞）上为增函数，当a=1时，g（x）=3ax+1﹣a=3x为增函数，根据“增+增=增”，可得函数h（x）在（1，+∞）上的单调性；再由零点存在定理，可得函数零点的个数；
（2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，则方程，（x＜﹣1，或x＞1）有两个不相等实数根，进而得到实数a的取值范围．
【解答】解：（1）令t==1﹣，则函数在（1，+∞）上为增函数，且恒为正，
故函数在（1，+∞）上为增函数，
当a=1时，g（x）=3ax+1﹣a=3x为增函数，
故h（x）=f（x）+g（x）在（1，+∞）上为增函数，
由h（1.1）=3.3﹣log221＜0，h（2）=6﹣log23＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点．
（2）方程f（x）=log2g（x）可化为： =log2（3ax+1﹣a），
即=3ax+1﹣a，
即，（x＜﹣1，或x＞1），
令v（x）=（3x﹣1）（x+1），
则v（﹣1）=0，v（1）=4，
若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，则，
解得a的取值范围是．
21. 已知中，角的对边分别为，且角满足，
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ) 若，，求的面积。
参考答案：
解：(I)∵， 且
∴
∴ sinB= ∴或
∵ ∴..........................6分
(Ⅱ) ，
==
,
..........................12分
略
22. （本小题满分8分）
已知全集，集合，．
（1）求．
（2）求．
参考答案：
（1）．
（2）或．
解析：本题考查集合的运算．
（1）由题意知，，故．
（2），，故或．
