湖北省荆门市月亮湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆门市月亮湖中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的单调递减区间为  (     )     A．（1,1]          B．（0,1]        C．[1，+∞）      D．（0，+∞） 参考答案： D 2. 在对两个变量x,y进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据 ③求线性回归方程；  ④求相关系数；  ⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 若根据可行性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论，则下列操作顺序中正确的是(     ) A．①②⑤③④            B．③②④⑤①                   C．②④③①⑤            D．②⑤④③① 参考答案： D 略 3. 若圆心坐标为（2，-1）的圆在直线上截得的弦长为，则这个圆的方程是（    ）    A．       B． C．       D． 参考答案： B 略 4. 设等差数列的前项和为，若，则的值是（   ） A．           B.           C.           D. 参考答案： C 5. 下列推理是归纳推理的是（    ） A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆 B．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆的面积S＝πab D．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 参考答案： D 6. 下列函数中，既是奇函数，又在（1，+∞）上递增的是（　　） A．y=x3﹣6x B．y=x2﹣2x C．y=sinx D．y=x3﹣3x 参考答案： D 【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】根据导数符号判断函数单调性的方法，奇函数的定义，二次函数图象的对称性，以及正弦函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项． 【解答】解：A．y=x3﹣6x，y′=3（x2﹣2）； ∴时，y′＜0，即该函数在上递减； ∴该函数在（1，+∞）上不递增，即该选项错误； B．y=x2﹣2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误； C．y=sinx在（1，+∞）上没有单调性，∴该选项错误； D．y=x3﹣3x，（﹣x）3﹣3（﹣x）=﹣（x3﹣3x）； ∴该函数为奇函数； y′=3（x2﹣1），x＞1时，y′＞0； ∴该函数在（1，+∞）上递增，∴该选项正确． 故选：D． 7. 直线与圆的位置关系是（    ） （A）相切     （B）相交     （C）相离     （D）不能确定 参考答案： B 略 8. 测得四组的值则与之间的回归直线方程为 （A）     （B）    （C）    （D） 参考答案： A 9. “a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的(     ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系． 【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立． 【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立． 当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得 ，a2=4，a=±2， 故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立． 综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件， 故选B． 【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法． 10. 观察下列等式： (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 … 照此规律，第n个等式为(　　) A．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) B．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n＋1)＝2n×1×3×…×(2n－1) C．(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n＋1) D．(n＋1)(n＋2)…(n＋1＋n)＝2n＋1×1×3×…×(2n－1) 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等差数列的前三项分别为，则这个数列的通项公式           . 参考答案： 4n-3 12. 给定下列四个命题：（1）是的充分不必要条件   （2）若命题“”为真，则命题“”为真   （3）若函数在上是增函数，则   （4）若则 其中真命题是_______________（填上所有正确命题的序号） 参考答案： 略 13. 在等差数列{an}中，已知，，则有（　 　） （A）   （B）   （C）  （D） 参考答案： A 14. 已知数列的前n项和，则通项=___________． 参考答案： 略 15. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型。 参考答案： ③④ 16. 在1和25之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间数是. 参考答案： 5 17. 如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则=　　（，，用表示） 参考答案： +﹣ 【考点】空间向量的数乘运算． 【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用． 【分析】由于=， =，，代入化简即可得出． 【解答】解： =， =，， ∴=﹣ =﹣ =+﹣． 故答案为： +﹣． 【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）已知空间四边形ABCD，BC=BD,AC=AD,E是CD边的中点.在AE上的一个动点P，讨论BP与CD是否存在垂直关系，并证明你的结论． 参考答案： 连接BE，BP与CD满足垂直关系.              ……………2分 因为BC=BD,E是CD中点，所以CD⊥BE           ……………4分 又因为AC=AD，E是CD中点，所以CD⊥AE       ……………6分 所以CD⊥平面ABE                               ……………8分 又因为BP是平面ABE内的直线，所以CD⊥BP      ……………10分 19. (14分).在平面上有一系列的点, 对于正整数，点位于函数的图像上，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆Pn+1又彼此外切，若，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）设圆的面积为，求证： 参考答案： （1）证明：的半径为，的半径为，………1分 和两圆相外切，则      …………………………2分 即              ………………3分 整理，得                 ………………5分 又所以   ………………………………6分 即故数列是等差数列 ………………………………7分  （2）由（1）得即，  ………………8分 又 所以  ………………………9分 法（一）：          ………………11分   ……13分   ………………………………14分 法（二）：    ………………10分 …………………………………………11分 ……………12分   ……………………………13分    …………………………………………14分 20. （12分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）+2sinxcosx（m是常数，x∈R） （Ⅰ）当m=1时，求函数的最小值； （Ⅱ）求证：?m∈R，函数y=f（x）有零点． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；三角函数的最值． 【分析】（Ⅰ）令t=sinx+cosx，则﹣，当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx=t2+t﹣1，结合二次函数的图象和性质，可得函数的最小值； （Ⅱ）令g（t）=t2+mt﹣1，（﹣），结合函数的零点存在定理，可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=（sinx+cosx）+2sinxcosx 令t=sinx+cosx，则﹣，且f（x）=t2+t﹣1 所以，当t=﹣时，函数取得最小值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）令t=sinx+cosx，则﹣，且f（x）=t2+mt﹣1 令g（t）=t2+mt﹣1，（﹣） 因为g（﹣）=1﹣m，g（）=1+m，g（0）=﹣1， 当m=0时，g（﹣）=g（）=1＞0，m，g（0）=﹣1＜0，函数在[﹣，]上有零点； 当m＞0时，g（）=1+m＞0，g（0）=﹣1＜0，函数在[0，]上有零点； 当m＜0时，g（﹣）=1﹣m＞0，g（0）=﹣1＜0，函数在[﹣，0]上有零点； 综上，对于?m∈R函数y=g（t）有零点，即函数y=f（x）有零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其意义，函数的零点存在定理，二次函数的图象和性质，难度中档． 　 21. 设集合M={x||x|＜1}，在集合M中定义一种运算“*”，使得． （Ⅰ）证明：（a*b）*c=a*（b*c）； （Ⅱ）证明：若a∈M，b∈M，则a*b∈M． 参考答案： 【考点】46：有理数指数幂的化简求值． 【分析】（Ⅰ）利用新定义推导出（a*b）*c=，a*（b*c）=，由此能证明（a*b）*c=a*（b*c）． （Ⅱ）要证a*b∈M，只需证：，即证，由此能证明若a∈M，b∈M，则a*b∈M． 【解答】证明：（Ⅰ）∵集合M={x||x|＜1}，在集合M中定义一种运算“*”，使得， ∴ a*（b*c）=a*（）==， ∴（a*b）*c=a*（b*c）．…（6分） （Ⅱ）由已知得：|a|＜1，|b|＜1， 要证a*b∈M，只需证：，即证， 即：， 而， 有（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， ∴若a∈M，b∈M，则a*b∈M．…（12分） 【点评】本题考查等式的证明和集合中元素的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用． 22. (本小题12分)已知函数(其中常数a,b∈), 是奇函数. (1)求的表达式; (2)讨论的单调性，并求在区间[1,2]上的最大值和最小值. 参考答案： (1) (2)减区间，增区间，