湖北省荆州市监利县龚场中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市监利县龚场中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点P是双曲线左支上的一点, 其右焦点为, 若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为, 则双曲线的离心率的取值范围是(　） A．　　B．      C．　　         D． 参考答案： B 设双曲线的左焦点为，因为点是双曲线左支上的一点。其右焦点为，若为线段的中点，且到坐标原点的距离为，所以，又因为，，所以，解得. 2. 函数在区间上的图象大致为 （    ） 参考答案： C   3. 如果执行右面的程序框图，则输出的结果是        A．                      B．                      C．                      D． 参考答案： B 4. 如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为(     ) A．4π B．8π C．12π D．16π 参考答案： D 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；综合题． 【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积． 【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，， 所以，R=2， 球O的表面积是16π， 故选D． 【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题． 5. 设，其中是实数，则（   ） A．1 B． C．    D． 参考答案： D 6. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（　　）      A.          B.         C.        D. 参考答案： D 7. 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么         （    ）     A．甲是乙的充分但不必要条件             B．甲是乙的必要但不充分条件     C．甲是乙的充要条件                     D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 参考答案： B 8. 在△ABC中，∠A=30°，，BC=1，则△ABC的面积等于(     ) A． B． C．或 D．或 参考答案： D 【考点】正弦定理． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用余弦定理列出关系式，将cosA，a与c的值代入求出b的值，再由于b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，AB=c=，BC=a=1， ∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA， 即1=b2+3﹣3b， 解得：b=1或b=2， 则S△ABC=bcsinA=或． 故选D 【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 9. 已知函数在R上是单调函数,且满足对任意,都有,若则的值是（  ） A．3 B．7 C．9 D．12 参考答案： C 略 10. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ D ） A.       B.     C.     D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________. 参考答案： 甲 12. 已知正项等比数列{}的前n项和为Sn，且，则S10= ______ 参考答案： 1023 13. 已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为               参考答案： 14. 若函数是定义域上的连续函数，则实数      ． 参考答案： 略 15. 阅读如图所示程序框图，若输出的，则满足条件的整数共有 个. 参考答案： 32 16. 如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线及直线与轴围成的区域，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则          ．   参考答案： 略 17. （几何证明选讲选做题） 极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为       ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA=0． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】HS：余弦定理的应用；HP：正弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可． （2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积． 【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，… 即sinB（sinA+cosA）=0，又角B为三角形内角，sinB≠0， 所以sinA+cosA=0，即，… 又因为A∈（0，π），所以．… （2）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc?cosA，则… 即，解得或，… 又，所以．… 19. 已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数． （Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值； （Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值； （Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可； （Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论． 【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=， ∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2， ∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分） 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增． ∴g（x）最小值为g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分） （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分） 当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分） 当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分） 当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0， ∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分） 综上，a≥e﹣1…（12分） 【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力． 20. 一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表： 类别A B C   数量 4 3 2   同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展． （Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率； （Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望． 参考答案： 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： （Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可． （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 解答： （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） ∴， ∴， ∴， ∴其分布列为： ξ 2 3 4 p ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 点评： 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算能力． 21. (本小题满分13分)已知，函数. (Ⅰ)求函数的单调区间； (Ⅱ)求函数在区间上的最小值. 参考答案： (Ⅰ)函数的定义域为. ①当时,，所以                                      ②当时，当. 故.                      6分 (Ⅱ)(1)当时，由(Ⅰ)知 ； (2) 当时， ①当时，， 由(Ⅰ)知 ； ②当时，， 由(Ⅰ)知 ③当时，， 由(Ⅰ)知 ； 综上所述，                        13分 22. 已知{an}为等差数列，且满足a1+a3=8，a2+a4=12． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a3，ak+1，Sk成等比数列，求正整数k的值． 参考答案： 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn，进而可得a3，ak+1，Sk，由等比数列可得k的方程，解方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d， 由题意可得， 解方程组可得a1=2，d=2， ∴an=2+2（n﹣1）=2n； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ∴a3=2×3=6，ak+1=2（k+1），， ∵a3，ak+1，Sk成等比数列，∴， ∴（2k+2）2=6（k2+k）， 化简可得k2﹣k﹣2=0， 解得k=2或k=﹣1， ∵k∈N*，∴k=2 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等比数列的通项公式，属中档题．