湖北省十堰市张湾区实验中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省十堰市张湾区实验中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合A={1,2,3,4}，N，则A∩B= A．{1,2,3,4} B．{－3,－2,－1,0,1,2,3,4} C．{1,2,3} D．{1,2} 参考答案： C ，故，选C.   2. 若为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（   ） （A）  （B）  （C） （D） 参考答案： D 略 3. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且（b－c）（sinB＋ sinC)＝（a－c) ·sinA，则角B的大小为       A. 300 　　　　　　　　　B. 450      　　　　C. 600 　　　　　　　D、 1200 参考答案： A  【知识点】余弦定理；正弦定理．C8 解析：∵由正弦定理，可得，sinB=，sinC=，sinA=， ∴由（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）?sinA可得， （b﹣c）（b+c）=a（a﹣c），即有c2+a2﹣b2=ac，则cosB==， 由于0＜B＜180°，则B=30°．故选：A． 【思路点拨】由正弦定理化简已知等式可得c2+a2﹣b2=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解． 4. 设全集为R，集合，则 A.(－1，l)        B.(－l，2)       C.(0，l)        D.(0，2) 参考答案： C 5. 下列说法正确的是（     ） A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件 C．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0”的否定是：“对任意x∈R, 均有x2＋x＋1＜0” D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题 参考答案： D 6. 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【分析】（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得A=．sinA=2sinBcosC，利用正弦定理与余弦定理可得：b=c．因此△ABC是等边三角形．即可得出． 【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，∴（b+c）2﹣a2=3bc，化为：b2+c2﹣a2=bc． ∴cosA==， A∈（0，π），∴A=． ∵sinA=2sinBcosC，∴a=2b×，化为：b=c． ∴△ABC是等边三角形． 那么△ABC的外接圆面积与内切圆面积的比值==4． 故选：A． 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 7. 若，则等于(     ) A．           B．              C．                 D． 参考答案： D 8. “”是“”的（     ） A．充分不必要条件                    B．既不充分也不必要条件 C．充要条件                          D. 必要不充分条件   参考答案： D 9. 若在函数的图象上，点在函数的图象上，则的最小值为（    ） A．   B．    C．    D． 参考答案： D 【知识点】函数综合 【试题解析】设y=x+m与曲线相切于P（）， 因为y’=令y’=1，则 所以切线为：y=x-2． 所以两平行线y=x-2，之间的距离最小，为： 所以的最小值为： 故答案为：D 10. 若p：x2﹣4x+3＞0；q：x2＜1，则p是q的（　　） 　 A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 　 C．充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设重心为G，的对边分别为a,b,c,若,则           参考答案： 12. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别为边CD和BC上，且，若，其中，则＝________。 参考答案： 略 13. 点M（x，y）是不等式组表示的平面区域内一动点，定点是坐标原点，则的取值范围是　　． 参考答案： [0，18] 略 14. 已知平面向量，，则与的夹角余弦值等于      。 参考答案： 15. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为_______． 参考答案： 【分析】 先求出双曲线的右焦点，由题意得抛物线的焦点，进而求出抛物线的准线方程. 【详解】双曲线中，,＝，双曲线右焦点为（，0）， 因为抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点， 所以抛物线的焦点为（，0），即抛物线的准线方程为：. 故答案为： 【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的焦点坐标等几何性质，属于基础题. 16. 已知函数有零点，则的取值范围是___________。 参考答案： 本题考查了导数知识，考查了方程的零点问题，数形结合意识，难度较大。，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故， 因为有零点，所以，即. 17. 过点P（2，3）的直线l将圆Q：（x﹣1）2+（y﹣1）2=16分成两段弧，当形成的优弧最长时，则 （1）直线l的方程为 ； （2）直线l被圆Q截得的弦长为           ． 参考答案： （1）x+2y﹣8=0；（2）2． 考点：直线与圆的位置关系． 专题：计算题；直线与圆． 分析：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长，l应与圆心与Q点的连线垂直，求出直线的斜率即可得出直线l的方程； （2）求出圆心Q（1，1）直线x+2y﹣8=0的距离，利用弦长公式可得结论． 解答： 解：（1）设圆心为Q（1，1），由圆的性质得，当直线l⊥PQ时，形成的优弧最长， 此时kPQ==2，所以直线l的斜率为﹣． 于是由点斜式得直线l的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+2y﹣8=0； （2）圆心Q（1，1）直线x+2y﹣8=0的距离为d==， 设直线l与圆Q相交于点A，B，则弦长|AB|=2=2． 故答案为：x+2y﹣8=0；2． 点评：本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l⊥PQ时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线L的方程；第（2）问先求出圆心到直线l的距离，再计算直线l被圆截得的弦长． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （2017?郴州三模）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l． （Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC； （Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC． （2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． 【解答】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF， 又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA， ∴BC∥面EFA， 又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l， ∴BC∥l， 又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC， 面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC， ∴l⊥面PAC． （2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴， 过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，）， E（），F（）， ，， 设Q（2，y，0），面AEF的法向量为， 则， 取z=，得，， |cos＜＞|==， |cos＜＞|==， 依题意，得|cos＜＞|=|cos＜＞|， ∴y=±1． ∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1． 【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19. 十九大报告提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间[1500,3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示： （1）按分层抽样的方法从质量落在[1750,2000)，[2000,2250)的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率； （2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A.所有蜜柚均以40元/千克收购； B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. 参考答案： （1）由题得蜜柚质量在和的比例为，∴分别抽取2个和3个. 记抽取质量在的蜜柚为，，质量在的蜜柚为，，， 则从这个蜜柚中随机抽取个的情况共有以下10种： ，，，，，，，，，， 其中质量小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为. （2）方案好，理由如下： 由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为， 同理，蜜柚质量在，，，，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05， 若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为 （元）， 若按方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为， 蜜柚质量低于2250克的个数为， ∴收益为元， ∴方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.   20. 已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|． （Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集； （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式． 【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，解关于m的不等式，解出即可． 【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8， 可化为①或②或③，… 解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜， 综合得：﹣＜x＜，即原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．… （Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4， 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…（8分） 又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．…（10分） 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题