湖北省孝感市汉川高级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省孝感市汉川高级中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（    ） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 参考答案： A 试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A. 考点：条件概率．       2. 已知集合，，则（    ） A．[1,2)     B．  C．[0,1]     D． 参考答案： D 3. 复数等于 （A）         (B)          ( C)            ( D) 参考答案： D ，选D. 4. 曲线y=lnx﹣2x在点（1，﹣2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： A 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解． 【解答】解：由题意得y′=﹣2，则在点M（1，﹣2）处的切线斜率k=﹣1， 故切线方程为：y+2=﹣（x﹣1），即y=﹣x﹣1， 令x=0得，y=﹣1；令y=0得，x=﹣1， ∴切线与坐标轴围成三角形的面积S==， 故选A． 【点评】试题主要考查导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力． 5. 已知空间不共面的四点A,B,C,D，则到这四点距离相等的平面有（   ）个 A．4       B．6             C．7               D．5 参考答案： C 6. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取     值范围是 A.    B. C.     D. 参考答案： B 7. 如图，在正方体中，为的中点，则    与平面所成角的正弦值等于（   ）   A．         B．        C．        D． 参考答案： A 略 8. 若集合M = {x ∈R | 2 x ≥ 4 }，N = {x∈R | x 2 － 4 x + 3 ≥ 0 }，则M∩N =(    ) A .  {x | x ≤ 4 }                                         B .  {x | x ≤ 1 }    C .  {x | x ≥ 2 }                                         D.  {x | x ≥ 3 } 参考答案： D 略 9. 设全集，，，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可． 【详解】， ， 则或， 则， 故选：． 10. 抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于四点，则的值为（   ） A．       B．1       C. 2        D．4 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. __________ 参考答案： 略 12. 已知命题： ①如果对于任意的恒成立，则实数a的取值范围是； ②命题“”的否定是“”； ③在中，的充要条件是； ④函数上为增函数. 以上命题中正确的是_______（填写所有正确命题的序号）. 参考答案： 13. 如图，直角中，，以为圆心、为 半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积， 且弧度，则=             .   参考答案： 2 14. 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为      .      参考答案： 2 15. 执行右图程序，其结果是____________________. 参考答案： 略 16. 已知定义在上R的函数满足，且，若是正项等比数列，等于________. 参考答案： 17. （几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于＿＿＿＿ 参考答案： 试题分析：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以. 考点：切割线定理. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数． （1）若对任意，都有恒成立，求a的取值范围； （2）设若P是曲线y=F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y=F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在轴上，求a的取值范围． 参考答案： 解：（1）由，得． 由于，，且等号不能同时取得，所以． 从而恒成立，．  ……………………………4分 设．求导，得．…………6分 ，， 从而，在上为增函数． 所以，所以．……………………………………8分 （2）设为曲线上的任意一点． 假设曲线上存在一点，使∠POQ为钝角， 则．………………………………………………………10分 ①  若t≤-1，，，=． 由于恒成立，．  当t=－1时，恒成立． 当t<－1时，恒成立．由于，所以a≤0.  …12分 ②  若，，，， 则=， 对，恒成立．………………………………………14分 ③ 当t≥1时，同①可得a≤0． 综上所述，a的取值范围是．  ………………………………………16分 19. 如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2. （1）若点在线段上，且，证明：； （2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值. 参考答案： （1）【考查意图】本小题以平面图形的翻折问题为载体，考查直线与平面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，考查化归与转化思想. 【解法综述】只要理清图形翻折前后相关要素的关系，掌握直线与平面垂直的判定定理及直线与平面垂直的性质，便可解决问题. 思路：先在图1中连结，根据得到，从而有，，即在图2中有，，所以得到平面，进而得到. 【错因分析】考生可能存在的错误有：不能理清图形翻折前后相关要素的关系，未能在图1中作出线段，从而无从下手；由于对直线与平面垂直的判定及性质理解不清导致逻辑混乱. 【难度属性】中. （2）【考查意图】本小题以多面体为载体，考查二面角、直线与平面所成角、公理3、直线与平面平行的判定定理与性质定理、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想. 【解法综述】只要掌握二面角的定义，会正确作出平面与平面的交线，或能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将直线与平面所成角转化为平行于的直线与平面所成角，并通过建立适当的空间直角坐标系利用向量方法解决直线与平面所成角的计算问题，便可顺利求解. 思路一：延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值. 思路二：分别在，上取点，，根据线段的长度及位置关系得到，且，从而得到四边形为平行四边形，进而证得，将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角.根据二面角定义得到.然后在平面内过点作交于点，并以为原点，分别为，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，结合直线与平面所成角的计算公式，便可求得与平面所成角的正弦值. 【错因分析】考生可能存在的错误有：无法利用公理3确定直线的位置，或不能利用直线与平面平行的判定定理与性质定理将所求角转化为平行于的直线与平面所成角，导致无从下手；不能根据二面角的定义求得；不能根据题意建立适当的空间直角坐标系；在求解过程中点的坐标或法向量等计算错误. 【难度属性】中. 20. (本题满分10分)已知函数,当时,取最小值-8,记集合， ()当t=1时，求； （）设命题，若为真命题，求实数t的取值范围。 参考答案： 由题意(－1, －8)为二次函数的顶点，∴ f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3) A＝{ x | x＜－3或x＞1}． (Ⅰ) B＝{ x | |x－1|≤1}＝{ x | 0≤x≤2}． ∴ (  RA)∪B＝{ x | －3≤x≤1}∪{ x | 0≤x≤2}＝{ x | －3≤x≤2}．......5分 (Ⅱ) B＝{ x | t－1≤x≤t＋1}． ， ∴实数t的取值范围是[－2, 0]．........10分 21. （本小题满分13分）己知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若，求的值. 参考答案： 略 22. （本小题满分14分） 已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一个菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为． （1）求椭圆的方程；（2）当直线过点时，求直线的方程； （3）当时，求菱形面积的最大值． 参考答案： （1）依题意，…………………………1分 解，得，…………………………2分 所以，，…………………………3分 于是椭圆的方程为。…………………………4分 （2）由已知得直线：，…………………………5分 设直线：，、…………………………6分 由方程组得，…………………………7分 当时， AC的中点坐标为，，…………………………8分 因为是菱形，所以的中点在上， 所以，解得，满足，…………………………9分 所以的方程为。…………………………10分 （3）因为四边形为菱形，且，所以， 所以菱形的面积，…………………………11分 由（2）可得 …………………………13分 又因为， 所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。………14分