湖北省孝感市楚才中学2023年高一数学理测试题含解析

湖北省孝感市楚才中学2023年高一数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知一扇形的周长为40，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于（　　） A．2B．3C．1D．4 参考答案： A 【考点】扇形面积公式． 【分析】由题意设扇形的半径和弧长分别为r和l，可得2r+l=40，扇形的面积S=lr=?l?2r，由基本不等式即可得解． 【解答】解：设扇形的半径和弧长分别为r和l， 由题意可得2r+l=40， ∴扇形的面积S=lr=?l?2r≤2=100． 当且仅当l=2r=20，即l=20，r=10时取等号， 此时圆心角为α==2， ∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 故选：A． 2. 经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　 　) A.4条      B．3条     C. 2条       D.1条 参考答案： B 3. 化简sin600°的值是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C． D．﹣ 参考答案： D 【考点】运用诱导公式化简求值． 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求值得解． 【解答】解：sin600°=sin（360°+180°+60°）=﹣sin60°=﹣． 故选：D． 【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 4. 若是夹角为60°的两个单位向量,，则(    )    A、2      B、7     C、         D、 参考答案： D 略 5. 下列四个命题：① ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（　　） 　　       A．0个                B．1个                 C．2个                 D．3个 参考答案： B 6. 在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为（     ） A．40                B．0.2               C．50               D．0.25 参考答案： C 略 7. 已知，是第四象限的角，则=（   ） A．          B．          C．          D． 参考答案： C 8. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a=（   ） A．5.25            B．5.15          C．5.2        D．10.5 参考答案： A 由题意得 ． ∴样本中心为． ∵回归直线过样本中心， ∴ ， 解得．   9. 已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣4，4） C．（﹣4，4] D．[﹣4，+∞） 参考答案： C 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】由题意知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）是由y=log2t和t（x）=x2﹣ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0即可． 【解答】解：令t（x）=x2﹣ax+3a，由题意知： t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0， ， 又a∈R+解得：﹣4＜a≤4 则实数a的取值范围是（﹣4，4]． 故选：C． 　 10. 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B（7,3），且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上，则直线MN的方程为   A. 5x一2y一5＝0　 B. 2x一5y一5＝0  C. 5x －2y＋5 ＝0 　D. 2x －5y＋5＝0 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若等差数列前项的和为，且，则          参考答案： 36 12. 若函数在上是减函数，则的取值范围为__________。 参考答案：   解析： 13. 已知，，则              . 参考答案： 略 14. 若，，则           。 参考答案： 略 15. 已知数列｛an｝的前n项和，那么它的通项公式为=_________ 参考答案： 2n 16. 已知，则              参考答案： 略 17. 化简的结果为_________   ; 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，且． （1）求的值； （2）求的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数的化简求值． 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． （2）利用倍角公式化简所求即可计算得解． 【解答】（本题满分为9分） 解：（1）∵，且． ∴cosα=﹣=﹣，…2分 ∴=（sinα+cosα）=…4分 （2）=+=+2sinαcosα=+2×=﹣…9分 19. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x，修建总费用为 (单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数：     （Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。   参考答案： 解：（1）设矩形的另一边长为a m 则-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+          ………………5分 (II) ………………8分 当且仅当225x=时，等号成立………………10分 即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元…..13分 20. 计算：（1）（0.001）+27+（）﹣（）﹣1.5 （2）lg25+lg2﹣lg﹣log29?log32． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用指数运算法则即可得出； （2）利用对数的运算法则即可得出． 【解答】解：（1）原式= （2）原式===． 【点评】本题考查了指数幂的运算法则和对数的运算法则，属于基础题． 21. （14分）已知函数． （1）求与f（f（1））的值； （2）若，求a的值． 参考答案： （1）f（+1）=1+=1+（﹣1）=． 而f（1）=12+1=2 所以：f（f（1））=f（2）=1+=．.............6分 （2）当a＞1时，f（a）=1+=?a=2； 当﹣1≤a≤1时，f（a）=a2+1=?a=±． 当a＜﹣1时，f（a）=2a+3=?a=﹣（舍去）．ks5u 综上：a=2或a=．.............14分 22. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界，已知函数. （1）当时，求函数在(－∞,0)上的值域，并判断函数在(－∞,0)上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数在[0,+∞)上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 参考答案： （1）当时，，令，∵，∴，； ∵在上单调递增，∴，即在上的值域为， 故不存在常数，使成立．∴函数在上不是有界函数． （2）由题意知，对恒成立， 即：，令，∵，∴． ∴对恒成立，∴， 设，，由， 由于在上递增，在上递减， 在上的最大值为， 在上的最小值为． ∴实数的取值范围为．