浙江省金华市南马中学高三数学理模拟试题含解析

浙江省金华市南马中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断一定正确的是（  ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 2. 若，则（   ） A． B． C． D． 参考答案： A 由题得 故答案为：A   3. 已知函数f（x）=存在最小值，则当实数a取最小值时，f[f（﹣2）]=（　　） A．﹣2 B．4 C．9 D．16 参考答案： D 【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】函数f（x）=存在最小值，可得﹣1+a≥12，解得a≥2．再利用分段函数的性质即可得出． 【解答】解：∵函数f（x）=存在最小值，∴﹣1+a≥12，解得a≥2． 则当实数a取最小值2时， x＜1时，f（x）=﹣x+2． ∴f（﹣2）=4． f[f（﹣2）]=f（4）=42=16． 故选：D． 【点评】本题考查了分段函数的性质及其应用、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A. 3， B. 3， C. 2， D. 2， 参考答案： D 【分析】 由图可得，由此求得，再由函数的周期可得点，在函数的图象上，然后利用对称性以及五点作图法列式求得的值． 【详解】解：由图可得， 即， ，可得， 函数． ，则点在函数的图象上． 再根据函数图象的对称性以及五点法作图可得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查由函数的部分图象求解析式，正弦函数的图象的对称性、正弦函数的周期性，五点法作图，属于中档题． 5. 已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为(  ) A．        B．          C．      D． 参考答案： C 6. 已知，则的值为    A.       B.         C.           D. 参考答案： B 7. 已知函数，下面四个结论中正确的是(   ) A.函数的最小正周期为            B.函数的图象关于直线对称 C.函数的图象是由的图象向左平移个单位得到 D.函数是奇函数 参考答案： D 略 8. 已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝，则sinα－cosα的值为(　　) A．         B．       C. －      D. － 参考答案： B 略 9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，b，c，若，b=2，sinB+cosB=，则角A的大小为 (    ） A．            B．             C．             D． 参考答案： D 10. 复数的共轭复数为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数有9个零点，且函数满足，则______ 参考答案： 略 12. 展开式中含项的系数是     。 参考答案： 略 13. 设二项式的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为q，且p+q=272，则n的值为            。 参考答案： 4 14. 如图，正方体的棱长为，分别为棱，上的点．下列说法正确的是__________.（填上所有正确命题的序号） ①平面； ②在平面内总存在与平面平行的直线； ③在侧面上的正投影是面积为定值的三角形； ④当为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当为中点时，平面与棱交于点，则．          参考答案： ②③④⑤ 略 15. 对函数 ，若存在区间M=[a,b]使得=M，则称为“稳定函数”，给出下列函数 ①=x2;    ②       ③ 其中为“稳定函数”的序号为           参考答案： ①② 16. 已知向量满足，，.若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是_____________. 参考答案： 略 17. 设抛物线的焦点为，过的直线交该抛物于两点，则的最小值为        参考答案： 16 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是   等腰直角三角形，    （1）求证：； （2）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？     若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （3）  求二面角的大小。 参考答案： 略 19. （本小题共14分） 如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：//平面； （Ⅲ）求二面角的大小．   参考答案： （Ⅰ）证明：依题意，平面．　 如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．                                          ……2分 依题意，可得，，，，，，．　 因为，， 所以．                                 　……5分 所以.                                                 ……6分 （Ⅱ）证明：取的中点，连接． 因为，，， 所以， 所以．                                                ……8分 又因为平面，平面， 所以平面．                                           ……9分 （Ⅲ）解：因为，， ， 所以平面，故为平面的一个法向量．……10分 设平面的法向量为， 因为，， 所以 即 令，得，，故．               ……12分 所以，                          ……13分 所以二面角的大小为．                           ……14分   20. 我们把定义在上，且满足（其中常数满足）的函数叫做似周期函数． （1）若某个似周期函数满足且图像关于直线对称．求证：函数是偶函数； （2）当时，某个似周期函数在时的解析式为，求函数，的解析式； （3）对于确定的时，，试研究似周期函数函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出的取值范围；若不可能，请说明理由． 参考答案： 因为关于原点对称，……………………………………………………1分 又函数的图像关于直线对称，所以 ①         ………………………………………………………2分 又，   用代替得③ ……………………………………………3分 由①②③可知， ．即函数是偶函数；…………………………………………4分 （2）当时， ；……10分 （3）当时， …………………12分 显然时，函数在区间上不是单调函数     …………………13分 又时，是增函数， 此时……………………………………14分 若函数在区间上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有 ，         ………………………………………………………16分 解得 ．         ………………………………………………………18分 21. （12分） 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积． 参考答案： 解：（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1， 故. 又，所以BE⊥平面. （2）由（1）知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，故AE=AB=3，. 作，垂足为F，则EF⊥平面，且. 所以，四棱锥的体积.   22. 已知数列{an}满足 （1）证明：数列为等差数列； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn 参考答案： （1）详见解析；（2）. 【分析】 （1）根据递推关系得到，再利用定义证明数列为等差数列； （2）由（1）得，再利用错位相减求和等差数列前项和公式，求得数列的前项和 【详解】（1）当时，， 则.∵，∴. 又∵，，∴，也满足， ∴，∵， ∴数列为公差是2的等差数列. （2），设数列的前n项和为， 则， ∴，∴，即，故， ∴. 【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的定义、等差数列前项和、错位相减法求和，考查转化与化归思想、方程思想的运用，考查运算求解能力.