湖北省宜昌市县三斗坪高级中学2022年高二数学文月考试题含解析

湖北省宜昌市县三斗坪高级中学2022年高二数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 抛物线y＝2x2的准线方程是(    ) A.y＝－            B.y＝            C.x＝－           D.x＝          参考答案： A 2. 设函数在区间D上可导，则“时> 0”是“ 函数在区间D上是增函数”的 （     ） Ａ、充分不必要条件         Ｂ、必要不充分条件     Ｃ、充要条件      Ｄ、既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 若函数在区间，0)内单调递增，则的取值范围是 A．[,1)      B．[,1)           C．，        D．(1，) 参考答案： A 4. 若a, b, c>0且，则的最小值为……………………（    ）    A．                  B．                      C．2                           D．4 参考答案： B 5. 下列选项中，说法正确的是 A．若命题“”为真命题，则命题和命题均为真命题 B．是的必要不充分条件 C．是的充要条件 D．命题“若构成空间的一个基底，则构成空间的一个基底”的否命题为真命题 参考答案： D 6. 若数列是等差数列，是方程的两根，则         . 参考答案： 3 7. 已知（其中i为虚数单位），则的虚部为(  ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，进而可得结果. 【详解】因为, 所以，故的虚部为，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 8. 已知△ABC中，C=90°，AB=2AC，在斜边AB上任取一点P，则满足∠ACP≤30°的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB，求出AP长度，即可得出结论． 【解答】解：△ABC中，C=90°，AB=2AC，B=30°，∠ACP=30°，则CP⊥AB， 设AC长为1，则AB=2，AP= ∴满足∠ACP≤30°的概率为=， 故选C． 9. 已知z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i（m∈R），z2=3﹣2i，则“m=1”是“z1=z2”的（　　）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．非充分非必要 参考答案： A 【考点】复数相等的充要条件． 【分析】根据复数相等的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：当m=1，则z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2i，此时z1=z2，充分性成立． 若z1=z2，则， 解得m=﹣2或m=1，显然m=1是z1=z2的充分不必要条件． 故m=1是z1=z2的充分不必要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数相等的等价条件是解决本题的关键，是基础题． 　 10. 直线l1，l2分别过点P( – 2，– 2 )，Q( 1，3 )，它们分别绕点P和Q旋转，但保持平行，那么，它们之间的距离d的取值范围是（    ） （A）( – ∞，)]     （B）( 0，+ ∞ )     （C）(，+ ∞ )     （D）[，+ ∞ ]) 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. =          。 参考答案：  解析：． 12. 抛物线y=9x2的焦点坐标为　      　． 参考答案： （0，） 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先将方程化成标准形式，即x2=y，p=，即可得到焦点坐标． 【解答】解：抛物线y=9x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为 （0，）， 故答案为：（0，）． 13. 若向量，，则             . 参考答案： 略 14. 若复数满足（其中i为虚数单位），则        ． 参考答案： 15. 以D为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为        ． 参考答案： 略 16. 过点且和抛物线相切的直线方程为                   . 参考答案： 和 略 17. 函数([2，6])的值域为  ▲  ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求A的大小；     （2）若，，求a． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】三角函数的求值；解三角形． 【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数； （2）由b，c，cosA的值，利用余弦定理求出a的值即可． 【解答】解：（1）由b=asinB，根据正弦定理得：sinB=sinAsinB， ∵在△ABC中，sinB≠0， ∴sinA=， ∵△ABC为锐角三角形， ∴A=； （2）∵b=，c=+1，cosA=， ∴根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=6+4+2﹣2××（+1）×=4， 则a=2． 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键． 19. （本小题满分8分）过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P，Q两点，O为坐标原点，求△POQ的面积． 参考答案： 20. 设函数f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）． （1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间； （2）当时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）利用导数的运算法则即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出实数根，通过列表即可得出其单调区间； （2）利用导数的运算法则求出f′（x），令f′（x）=0得出极值点，列出表格得出单调区间，比较区间端点与极值即可得到最大值． 【解答】解：（1）当k=1时，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2， f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2） 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （﹣∞，0） 0 （0，ln2） ln2 （ln2，+∞） f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0）和（ln2，+∞），单调减区间为（0，ln2） （2）f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]，． f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k） 令φ（k）=k﹣ln（2k），， 所以φ（k）在上是减函数，∴φ（1）≤φ（k）＜φ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜＜k． 即0＜ln（2k）＜k 所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表： x （0，ln（2k）） ln（2k） （ln（2k），k） f'（x） ﹣ 0 + f（x） ↘ 极小值 ↗ f（0）=﹣1， f（k）﹣f（0） =（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0） =（k﹣1）ek﹣k3+1 =（k﹣1）ek﹣（k3﹣1） =（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1） =（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）] ∵，∴k﹣1≤0． 对任意的，y=ek的图象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0 所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0） 所以函数f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3． 21. （本小题满分14分） 已知曲线在点(0，)处的切线斜率为. (1) 求的极值； (2) 设，若在(－∞，1]上是增函数，求实数k的取值范围． 参考答案： 解：(1) f(x)的定义域是(－∞，2)，f′(x)＝＋a.                   ………………2分 由题知f′(0)＝－＋a＝， 所以a＝2，所以f′(x)＝＋2＝ 令f′(x)＝0，得x＝.                         …………………………4分 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：   x (－∞，) (，2) f′(x) ＋ 0 － f(x)  1  所以f(x)在x＝处取得极大值，无极小值．         …………………………7分 (2) g(x)＝ln(2－x)＋(k＋2)x， g′(x)＝＋(k＋2)，                     …………………………9分 由题知g′(x)≥0在(－∞，1]上恒成立， 即k≥－2在(－∞，1]上恒成立， 因为x≤1，所以2－x≥1，所以0＜≤1，所以k≥－1. 故实数k的取值范围是[－1，＋∞)．             …………………………14分 22. 已知函数． （1）设，求函数的极值； （2）当时，函数有两个极值点，证明：. 参考答案： (1) 极大值0，无极小值．(2)证明见解析 【分析】 (1)对函数求导，得其导函数的正负，研究原函数的单调性得极值；   (2)根据导函数为零，得关于这两个极值点的韦达定理，从而将两个变元的问题可转化成一个变元的问题，再研究关于这个变元的函数的单调性和最值. 【详解】（1）解：， 则． 令，得. 所以当x变化时，的变化情况如下表： x + - ↗ 极大值 ↘     因此有极大值，无极小值． （2）证明：． 由题意得，. 因为，所以． 由，得， 则，解得． 所以. 由（1）得， 所以 令，则. 分析可得在区间上单调递减． 当时． 所以 【点睛】本题考查利用导数处理极值与不等式证明问题，第二问关键将双变元转化成单变元问题，属于难度题.