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浙江省金华市第四中学2023年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 命题:“”,则
A.是假命题 ;: B. 是真命题;:
C.是真命题;: D.是假命题;:
参考答案:
D
2. 设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
3. 在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数的平均值和方差分别为( )
A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8
参考答案:
B
【考点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差.
【专题】概率与统计.
【分析】平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到;方差就是将数据代入方差公式
s2=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+(x3﹣)2+…+(xn﹣)2]即可求得.
【解答】解:由题意知,所剩数据为90,90,93,94,93,
所以其平均值为90+(3+4+3)=92;
方差为(22×2+12×2+22)=2.8,
故选B.
【点评】本题考查平均数与方差的求法,属基础题.
4. 函数,的图象大致是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
∵函数f(x)=2x﹣4sinx,∴f(﹣x)=﹣2x﹣4sin(﹣x)=﹣(2x﹣4sinx)=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,
所以函数f(x)=2x﹣4sinx的图象关于原点对称,排除AB,
函数f′(x)=2﹣4cosx,由f′(x)=0得cosx=,故x=2k(k∈Z),
所以x=±时函数取极值,排除C,
故选:D.
点睛:本题主要考查函数的性质,结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性,是解决函数图象选择题常用的方法.
5. 设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】由抛物线方程,求出焦点F.设M(x0,y0),利用抛物线的定义,列式并解之即可得到点M的横坐标.
【解答】解:∵抛物线方程为x2=y,
∴抛物线的焦点F(0,)
设点M(x0,y0),得y0+=1,解之得y0=
故选:B.
【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离,求该点的横坐标.考查了抛物线的定义与标准方程,抛物线的简单几何性质等知识,属于基础题.
7. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10=( )
A.138 B.135 C.95 D.23
参考答案:
C
【考点】等差数列的性质;等差数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据a2+a4=4,a3+a5=10我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式,即可求解.
【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6,
∴d=3,a1=﹣4,
∴S10=10a1+=95.
故选C
【点评】在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这个数列的类型,则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式.
8. 已知复数z满足(其中i为虚数单位),则( )
A. 1 B. 2 C. D.
参考答案:
D
【分析】
先求出复数z,然后根据公式,求出复数的模即可.
【详解】,,.故选D.
【点睛】本题主要考查复数的模计算,较基础.
9. 一组数据中的每一个数都减去90得到一组新的数据,如果求得新数据的平均数为1.2,方差为4.4,则原来数据的平均数和方差分别为( )
A.91.2,4.4 B.91.2,94.4 C. 88.8,4.4 D.88.8,75.6
参考答案:
A
10. i是虚数单位,则1+i3等于( )
A.i B.-i C.1+i D.1-i
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知是椭圆的半焦距,则的取值范围为
参考答案:
略
12. 若对所有正数不等式都成立,则的最小值是 .
参考答案:
.
解析:由当时取等号,故的最小值是.
13. 已知PD⊥矩形ABCD所在的平面,则
图中相互垂直的平面有________对
参考答案:
5
略
14. 若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为 .
参考答案:
a<﹣2或a>2
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】特称命题的否定是假命题,即原命题为真命题,得到判别式大于0,解不等式即可.
【解答】解:∵命命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,
∴原命题为真命题,即“存在实数x,使x2+ax+1<0”为真命题,
∴△=a2﹣4>0
∴a<﹣2或a>2
故答案为:a<﹣2或a>2
15. 已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0.如果对?x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m的取值范围___________.
参考答案:
略
16. 已知xy>0,x≠y,则x4+6x2y2+y4与4xy(x2+y2)的大小关系是______________.
参考答案:
x4+6x2y2+y4>4xy(x2+y2)
解析:x4+6x2y2+y4-4xy(x2+y2)=(x-y)4>0
17. 在等差数列中,已知,那么它的前8项和等于_________
参考答案:
48
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知等差数列的首项为,公差为,且不等式的解集为.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列前项和.
参考答案:
(1)an=2n-1;(2)=
(1)易知:由题设可知
(2)由(I)知
19. 已知动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程C;
(Ⅱ)直线l交曲线C于A,B两点,若圆P:以线段AB为直径,求圆P的方程.
参考答案:
(Ⅰ)由题知,,…………………………1分
整理得:,
∴点的轨迹方程为:…………………………4分
(Ⅱ) ∵圆以线段为直径,∴的中点为, ……………5分
由题意知直线的斜率存在,
设直线的方程为,,则,
由,消去得,
恒成立,,,……………………7分
∵,∴,解得,…………………………8分
∴,,…………………………9分
∴
,…………………………11分
∴,
∴圆的方程为…………………………12分
20. 已知不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1<x<3}.
(1)求a,c的值;
(2)若不等式ax2+2x+4c>0的解集为A,不等式3ax+cm<0的解集为B,且A?B,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】(1)由一元二次不等式和对应方程的关系,利用根与系数的关系即可求出a、c的值;
(2)由(1)中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c>0,再根据真子集的定义求出m的取值范围.
【解答】解:(1)∵不等式ax2+x+c>0的解集为{x|1<x<3},
∴1、3是方程ax2+x+c=0的两根,且a<0,…
所以;…
解得a=﹣,c=﹣;…
(2)由(1)得a=﹣,c=﹣,
所以不等式ax2+2x+4c>0化为﹣x2+2x﹣3>0,
解得2<x<6,
∴A={x|2<x<6},
又3ax+cm<0,即为x+m>0,
解得x>﹣m,
∴B={x|x>﹣m},…
∵A?B,
∴{x|2<x<6}?{x|x>﹣m},
∴﹣m≤2,即m≥﹣2,
∴m的取值范围是[2,+∞).…
21. 由圆x2+y2=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方程.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】设出弦AB中点坐标为(x,y),利用斜率关系可得方程,与圆O方程联立,可得范围.
【解答】解:设弦AB的中点M的坐标为M(x,y),连接OP、OM,则OM⊥AB,
在△OMP中,由两点间的距离公式和勾股定理有x2+y2+(x﹣5)2+(y﹣12)2=169.
整理,得 x2+y2﹣5x﹣12y=0.其中﹣3≤x≤3.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查轨迹方程,考查学生的计算能力,属于中档题.
22. 已知函数.
(1)若函数在点的切线为,求实数的值;
(2)若,证明:当时,.
参考答案:
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