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湖北省十堰市刘洞镇中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点,则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】由题意不难判断六边形EFGHKL在正方体面后、下面、右面上的射影,(前后、左右、上下的射影相同)即可得到结论.
【解答】解:E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点,
则六边形EFGHKL在正方体后面上的射影,
在左侧面上的射影也应该是在底面ABCD上的投影为即是B图,
故选B.
2. 在回归分析中,相关指数R2越接近1,说明( )
A、两个变量的线性相关关系越强 B、两个变量的线性相关关系越弱
C、回归模型的拟合效果越好 D、回归模型的拟合效果越差
参考答案:
A
3. 已知复数,其中为0,1,2,…,9这10个数字中的两个不同的数,则不同的虚数的个数为( )
A.36 B.72 C.81 D.90
参考答案:
C
4. 已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为( ).
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
C
5. 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A.(0,﹣1) B.(,1) C.(0,) D.(﹣1,1)
参考答案:
D
【考点】正弦定理;椭圆的简单性质.
【分析】由“ ”的结构特征,联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得: 两者结合起来,可得到 ,再由焦点半径公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a﹣ex0)解出x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等式求解.要注意椭圆离心率的范围.
【解答】解:在△PF1F2中,由正弦定理得:
则由已知得:,
即:aPF1=cPF2
设点P(x0,y0)由焦点半径公式,
得:PF1=a+ex0,PF2=a﹣ex0
则a(a+ex0)=c(a﹣ex0)
解得:x0= =
由椭圆的几何性质知:x0>﹣a则 >﹣a,
整理得e2+2e﹣1>0,解得:e<﹣﹣1或e>﹣1,又e∈(0,1),
故椭圆的离心率:e∈(﹣1,1),
故选D.
【点评】本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点,多数是用a,b,c转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围.
6. 抛物线的焦点到准线的距离是( )
A B C D
参考答案:
B
略
7. 定义在上的函数满足,,已知,则是的( )条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
参考答案:
C
略
8. 给定下列四个命题:
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
参考答案:
D
9. 已知集合,,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合,再根据集合的基本运算进行求解即可.
【详解】因为,,
所以,
故选C.
【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
10. 已知定义在上的函数满足,当时,,其中,若方程有3个不同的实数根,则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点M,若△MAB是直角三角形,则此双曲线的离心率e的值为 .
参考答案:
2
【考点】双曲线的简单性质.
【专题】计算题;转化思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】由题意,△AMF为等腰直角三角形,|AF|为|AB|的一半,|AF|=.而|MF|=a+c,由题意可得,a+c=,即可得出结论.
【解答】解:由题意,△AMF为等腰直角三角形,
|AF|为|AB|的一半,|AF|=.
而|MF|=a+c,
由题意可得,a+c=,
即a2+ac=b2=c2﹣a2,即c2﹣ac﹣2a2=0.
两边同时除以a2可得,e2﹣e﹣2=0,解之得,e=2.
故答案为:2.
【点评】本题主要考查双曲线的基本性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
12. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为 .
参考答案:
45°
【考点】MI:直线与平面所成的角;L3:棱锥的结构特征.
【分析】先做出要求的线面角,把它放到一个直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系求出此角.
【解答】解:如图,四棱锥P﹣ABCD中,过P作PO⊥平面ABCD于O,连接AO,
则AO是AP在底面ABCD上的射影.∴∠PAO即为所求线面角,
∵AO=,PA=1,
∴cos∠PAO==.∴∠PAO=45°,即所求线面角为45°.
故答案为45°.
13. 已知直线平面,直线平面,则直线的位置关系是 ▲_
参考答案:
14. 已知α,β是平面,m,n是直线. 给出下列命题:
①.若m∥n,m⊥α,则n⊥α ②.若m⊥α,,则α⊥β
③.若m⊥α,m⊥β,则α∥β ④.若m∥α,α∩β=n,则m∥n其中,真命题的编号是_ (写出所有正确结论的编号).
参考答案:
①②③
略
15. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6= .
参考答案:
63
【考点】等比数列的性质;等比数列的前n项和.
【分析】直接利用等比数列的性质,求解即可.
【解答】解:等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,
所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4,也是等比数列,(S4﹣S2)2=S2?(S6﹣S4),
即122=3?(S6﹣15),
解得S6=63
故答案为:63.
16. 若n>0,则的最小值为 .
参考答案:
6
【考点】基本不等式.
【专题】转化思想;不等式.
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵n>0,则=+≥3=6,当且仅当n=2时取等号.
故答案为:6.
【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
17. 设等差数列的首项及公差均是正整数,前项和为,且,,,则= .
参考答案:
4024
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 椭圆的左、右焦点分别是,且点在上,抛物线与椭圆交于四点A,B,C,D.
(I)求的方程;
(Ⅱ)试探究坐标平面上是否存在定点Q,满足?(若存在,求出Q的坐标;若不存在,需说明理由.)
参考答案:
(I)依题意有:
所以
所以椭圆的方程为:
(Ⅱ)法一:由于椭圆和抛物线都关于轴对称,故它们的交点也关于轴对称,不妨设,则
若存在点满足条件,则点心在轴上,设,
联立
则,
由于
所以
又
所以
则
即
故坐标平面上存在定点,满足
法二:由于椭圆和抛物线都关于轴对称,故它们的交点也关于轴对称,不妨设,则的中心
依题意,只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.
联立
则,
所以,直线:
令得:为定值,
故坐标平面上存在定点,满足.
19. 如图所示,正三棱柱的底面边长为2,D是侧棱的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)若平面与平面所成锐二面角的大小为,求四棱锥的体积.
参考答案:
解:(1)如图①,取的中点,的中点,连接,易知
又,∴四边形为平行四边形,∴.
又三棱柱是正三棱柱,∴为正三角形,∴.
∵平面,,而,∴平面.
又,∴平面.而平面,所以平面平面.
(2)(方法一)建立如图①所示的空间直角坐标系,设,则,得.
设为平面的一个法向量.由得
即.显然平面的一个法向量为,
所以,
即.所以.
(方法二)如图②,延长与交于点,连接.
∵,为的中点,∴也是的中点, 又∵是的中点,∴.
∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴.
∵作B1M ⊥A1C1与A1C1交于点M,∵正三棱柱ABC-A1B1C1
∴B1M ⊥AA1C1 D,∴B1M是高,所以
20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x (单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2千克/年;当4<x≤20时,v是x的一次函数,当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0千克/年.
(1)当0<x≤20时,求v关于x的函数表达式;
(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值.
参考答案:
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)当4<x≤20时,设v=ax+b,根据待定系数法求出a,b的值,从而求出函数的解析式即可;
(2)根据f(x)的表达式,结合二次函数的性质求出f(x)的最大值即可.
【解答】解 (1)由题意得当0<x≤4时,v=2;
当4<x≤20时,设v=ax+b,
由已知得:,解得:,
所以v=﹣x+,
故函数v=;
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,
依题意并由(1)可得f(x)=
当0<x≤4时,f(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;
当4<x≤20时,f(x)=﹣x2+x=﹣(x2﹣20x)=﹣(x﹣10)2+,
f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0<x≤20时,f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米.
21. (本小题满分12分)
已知函数,函数
⑴ 当时,求函数的表达式;
⑵ 若,函数在上的最小值是2 ,求的值;
⑶ 在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
参考答案:
解:⑴∵,
∴当时, ,当时, …………………1分
∴当时, ,当时, ……………2分
∴当时,函数 …………4分
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时, 当且仅当时取等号 …………6分
∴函数在上的最小值是 ………………7分
∴依题意得∴ ……………8分
(用导数求最小值参考给分)
⑶根据(2)知,…
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