湖北省十堰市刘洞镇中学高二数学理期末试题含解析

湖北省十堰市刘洞镇中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由题意不难判断六边形EFGHKL在正方体面后、下面、右面上的射影，（前后、左右、上下的射影相同）即可得到结论． 【解答】解：E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA的中点， 则六边形EFGHKL在正方体后面上的射影， 在左侧面上的射影也应该是在底面ABCD上的投影为即是B图， 故选B． 2. 在回归分析中，相关指数R2越接近1，说明（   ） A、两个变量的线性相关关系越强    B、两个变量的线性相关关系越弱 C、回归模型的拟合效果越好        D、回归模型的拟合效果越差   参考答案： A 3. 已知复数，其中为0，1，2，…，9这10个数字中的两个不同的数，则不同的虚数的个数为（　   ） A.36   　　　　B.72  　　　      C.81  　　　　　　  D.90 参考答案： C 4. 已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)．   A．4            B．3           C．2           D．1 参考答案： C 5. 已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使=，则该椭圆的离心率的取值范围为（　　） A．（0，﹣1） B．（，1） C．（0，） D．（﹣1，1） 参考答案： D 【考点】正弦定理；椭圆的简单性质． 【分析】由“ ”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得： 两者结合起来，可得到 ，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围． 【解答】解：在△PF1F2中，由正弦定理得： 则由已知得：， 即：aPF1=cPF2 设点P（x0，y0）由焦点半径公式， 得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0 则a（a+ex0）=c（a﹣ex0） 解得：x0= = 由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则 ＞﹣a， 整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1）， 故选D． 【点评】本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围． 6. 抛物线的焦点到准线的距离是（    ） A     B     C    D    参考答案： B 略 7. 定义在上的函数满足，，已知,则是的（     ）条件． A．充分不必要     B．必要不充分       C．充分必要      D．既不充分也不必要 参考答案： C 略 8. 给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是(　　) A．①和②           B．②和③          C．③和④            D．②和④ 参考答案： D 9. 已知集合，，则　　 A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】因为，， 所以， 故选C． 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系. 10. 已知定义在上的函数满足，当时，，其中，若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 A．        B．          C．          D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若△MAB是直角三角形，则此双曲线的离心率e的值为　   　． 参考答案： 2 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由题意，△AMF为等腰直角三角形，|AF|为|AB|的一半，|AF|=．而|MF|=a+c，由题意可得，a+c=，即可得出结论． 【解答】解：由题意，△AMF为等腰直角三角形， |AF|为|AB|的一半，|AF|=． 而|MF|=a+c， 由题意可得，a+c=， 即a2+ac=b2=c2﹣a2，即c2﹣ac﹣2a2=0． 两边同时除以a2可得，e2﹣e﹣2=0，解之得，e=2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查双曲线的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为　　． 参考答案： 45° 【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征． 【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角． 【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO， 则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角， ∵AO=，PA=1， ∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°． 故答案为45°． 13. 已知直线平面，直线平面，则直线的位置关系是　▲_ 　 参考答案： 14. 已知α，β是平面，m，n是直线. 给出下列命题：    ①．若m∥n，m⊥α，则n⊥α   ②．若m⊥α，，则α⊥β ③．若m⊥α，m⊥β，则α∥β   ④．若m∥α，α∩β=n，则m∥n其中，真命题的编号是_           （写出所有正确结论的编号）. 参考答案： ①②③ 略 15. 设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=　   　． 参考答案： 63 【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和． 【分析】直接利用等比数列的性质，求解即可． 【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15， 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4，也是等比数列，（S4﹣S2）2=S2?（S6﹣S4）， 即122=3?（S6﹣15）， 解得S6=63 故答案为：63． 16. 若n＞0，则的最小值为　     ． 参考答案： 6 【考点】基本不等式． 【专题】转化思想；不等式． 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵n＞0，则=+≥3=6，当且仅当n=2时取等号． 故答案为：6． 【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则=      ． 参考答案： 4024 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点A，B，C，D. （I）求的方程； （Ⅱ）试探究坐标平面上是否存在定点Q，满足?（若存在，求出Q的坐标；若不存在，需说明理由.） 参考答案： （I）依题意有： 所以 所以椭圆的方程为： （Ⅱ）法一：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则 若存在点满足条件，则点心在轴上，设， 联立 则， 由于 所以 又 所以 则 即 故坐标平面上存在定点，满足 法二：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则的中心 依题意，只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点. 联立 则， 所以，直线： 令得：为定值， 故坐标平面上存在定点，满足. 19. 如图所示，正三棱柱的底面边长为2,D是侧棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的大小为，求四棱锥的体积. 参考答案： 解：（1）如图①，取的中点，的中点，连接，易知 又，∴四边形为平行四边形，∴. 又三棱柱是正三棱柱，∴为正三角形，∴. ∵平面，,而，∴平面. 又，∴平面.而平面，所以平面平面. （2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，设，则，得. 设为平面的一个法向量.由得 即.显然平面的一个法向量为， 所以， 即.所以. （方法二）如图②，延长与交于点,连接. ∵,为的中点，∴也是的中点, 又∵是的中点,∴. ∵平面,∴平面.∴为平面与平面所成二面角的平面角.所以,∴. ∵作B1M ⊥A1C1与A1C1交于点M，∵正三棱柱ABC-A1B1C1 ∴B1M ⊥AA1C1 D，∴B1M是高，所以 20. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年． （1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式； （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值． 参考答案： 【考点】函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可； （2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可． 【解答】解　（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2；                  当4＜x≤20时，设v=ax+b， 由已知得：，解得：， 所以v=﹣x+， 故函数v=； （2）设年生长量为f（x）千克/立方米， 依题意并由（1）可得f（x）= 当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；       当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+， f（x）max=f（10）=12.5． 所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5． 即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米． 21. (本小题满分12分) 已知函数,函数 ⑴ 当时,求函数的表达式; ⑵ 若,函数在上的最小值是2 ,求的值; ⑶  在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积. 参考答案： 解:⑴∵, ∴当时,  ，当时, …………………1分 ∴当时, ，当时, ……………2分 ∴当时,函数 …………4分 ⑵∵由⑴知当时,, ∴当时, 当且仅当时取等号 …………6分 ∴函数在上的最小值是  ………………7分 ∴依题意得∴ ……………8分 （用导数求最小值参考给分） ⑶根据（2）知，…