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湖北省孝感市书院中学高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数,其中,则导数的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. 已知向量m、n满足||=2,||=3,,则|+|=( )
A. B.3 C. D.
参考答案:
B
考点:平面向量数量积的运算.
专题:平面向量及应用.
分析:由题意可得,|﹣|2+|+|2=22+22=26,从而求得|+|的值.
解答: 解:由,||=2,||=3,∴|﹣|2+|+|2=22+22=26,∴|+|=3,
故选:B.
点评:本题主要对向量的运算进行考查,同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求,属于基础题.
3. 已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是 ( )
A.18 B.19 C.20 D.21
参考答案:
C
略
4. 函数的反函数( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 已知,则a,b,c的大小关系是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由题得:,而,所以而,又,所以c最小,又,
又,所以,故选C
点睛:本题较难,主要是对对数和指数的运算的考察,在比较大小时,先判定各数的符号,然后可以借助中间值0或1进行比较,也可以作差或作商进行比较
6. 已知某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸(单位:),可得这个几何体的表面积为
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω是常数且ω>0)相交,则相邻两交点间的距离是( )
A.π B. C. D.与a的值有关
参考答案:
C
【考点】H1:三角函数的周期性及其求法.
【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离,便是此正切曲线的一个最小正周期.
【解答】解:因为直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期,
∵y=tanωx的周期是,
∴直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是.
故选C
8. 某程序框图如图所示,若程序运行后输出S的值是25,则图中判断框①处可填入的语句是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
9. 某几何体的三视图如下,则它的表面积为 ……………( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
10. 如图,在执行程序框图所示的算法时,若输入a3,a2,a1,a0的值依次是1,﹣3,3,﹣1,则输出v的值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【专题】图表型;算法和程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的v,i的值,当i=﹣1时,不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为8.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得
x=3,v=0,i=3
满足条件i≥0,a3=1,v=1,i=2
满足条件i≥0,a2=﹣3,v=0,i=1
满足条件i≥0,a1=3,v=3,i=0
满足条件i≥0,a0=﹣1,v=8,i=﹣1
不满足条件i≥0,退出循环,输出v的值为8.
故选:D.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,依次正确写出每次循环得到的v,i的值是解题的关键,属于基本知识的考查.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若集合A={x|x2﹣2x>0,x∈R},B={x||x+1|<0,x∈R},则A∩B= .
参考答案:
?
【考点】交集及其运算.
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出A与B的交集即可.
【解答】解:由集合A中的不等式变形得:x(x﹣2)>0,
解得:x<0或x>2,
即A=(﹣∞,0)∪(2,+∞);
由集合B中的不等式,根据绝对值的意义得:x∈?,
即B=?,
所以A∩B=?.
故答案为:?.
【点评】本题考查了不等式的解法以及交集的运算问题,熟练掌握交集的定义是解题的关键.
12. 已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排,则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为 .
参考答案:
【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.
【分析】先求出基本事件总数n=,再求出3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=,由此能求出男生中有且只有2位男生相邻的概率.
【解答】解:3位男生和3位女生共6位同学站成一排,
基本事件总数n=,
3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=,
∴男生中有且只有2位男生相邻的概率为p==.
故答案为:.
13. 若tan(π﹣α)=2,则sin2α= .
参考答案:
【考点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用.
【专题】三角函数的求值.
【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值,再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα,且sinα与cosα异号,两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值,进而求出sinαcosα的值,最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值.
【解答】解:∵tan(π﹣α)=﹣tanα=﹣=2,即=﹣2<0,
∴sinα=﹣2cosα,
两边平方得:sin2α=4cos2α,
∵sin2α+cos2α=1,
∴cos2α=,sin2α=,
∴sin2αcos2α=,即sinαcosα=﹣,
则sin2α=2sinαcosα=﹣.
故答案为:﹣
【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.
14. 已知函数f(x)=3x﹣1,g(x)=x2﹣2x﹣1,若存在实数a、b使得f(a)=g(b),则b是取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,0)∪(2,+∞)
【考点】二次函数的性质.
【分析】若存在实数a、b使得f(a)=g(b),则g(b)属于函数f(x)的值域,进而得到答案.
【解答】解:函数f(x)=3x﹣1∈(﹣1,+∞),
若存在实数a、b使得f(a)=g(b),
则g(b)=b2﹣2b﹣1>﹣1,
解得:b∈(﹣∞,0)∪(2,+∞),
故答案为:(﹣∞,0)∪(2,+∞)
15. 已知F是抛物线的焦点,点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧,若 (其中O为坐标原点),则与面积之和的最小值是______
参考答案:
3
设直线的方程为,点,,直线与轴的交点为.
联立,可得,根据韦达定理可得.
∵
∴,即.
∴或(舍),即.
∵点,位于轴的两侧
∴不妨令点在轴的上方,则.
∵
∴,当且仅当时取等号.
∴与面积之和的最小值是3.
故答案为3.
点睛:本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键.
16. 在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=1,点E是AB的中点,点D满足,则= .
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算法则,求得要求式子的值.
【解答】解:Rt△ABC中,∵∠A=90°,AB=AC=1,点E是AB的中点,点D满足,
∴=?(﹣)=?[+]=?(+)
===,
故答案为:.
17. 函数,,对区间(1,2)上任意不等的实数,都有恒成立,则正数的取值范围为 .
参考答案:
(0,1]
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某市为评选“全国卫生城市”,从200名志愿者中随机抽取40名志愿者参加街道卫生监督活动,经过统计这些志愿者的年龄介于25岁和55岁之间,为方便安排任务,将所有志愿者按年龄从小到大分成六组,依次为,如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第四组的人数为4人.
(1)求第五组的频率并估计200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁)的人数;
(2)若从年龄位于第四组和第六组的志愿者中随机抽取两名,记他们的年龄分别为,事件,求.
参考答案:
(1)75(2)
试题解析:(1)第四组的频率为,所以第五组的频率为,由直方图得后三组频率为
所以200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁)的人数约为人.
(2)第四组的人数为4人,设为;第六组的人数为2人,设为.则有
共15种情况,
因事件发生当且仅当随机抽取的两名志愿者在同一组,所以事件包含的基本事件为共 7 种情况,故.
19. 在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,为边长为2的等边三角形,,点F,O分别为AB,BE的中点,OF是异面直线AB和OC的公垂线.
(1)证明:平面平面;
(2)记OCDE的重心为G,求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值.
参考答案:
(1)详见解析;(2).
【分析】
(1)为的中点,利用等边三角形的性质可得,根据是异面直线与的公垂线,可得.可得平面.进而得出:平面平面.
(2)根据,为中点,可得,又是异面直线与的公垂线,可得,可得:平面.建立如图所示的空间直角坐标系.设平面的一个法向量为,可得,由,,的坐标可得的重心.设直线与平面所成角为,则,.
【详解】解:(1)证明:因为为的中点,所以在等边中,
又因为是异面直线和的公垂线,所以
又因为,平面,所以平面
因为平面,所以平面平面
(2)因为、为中点,所以,又因为是异面直线和的公垂线,
所以,,所以为等腰直角三角形
连接,,
因为,平面,平面平面且平面平面
所以平面
因此,以为原点,分别以、、所在的直线为、、轴建系如图所示:
则,,,
因为四边形为平行四边形,设
因为,所以
所以
设面的一个法向量为
,
由
令,则,,所以
因为,,,
所以的重心为的坐标为,
设直线与平面所成角为,则
【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. 对于数列,把作为新数列的第一项,把或()作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列.例如,数列的一个生成数列是.
已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和.
(Ⅰ)写出的所有可能值;
(Ⅱ)若生成数列满足的通项公式为,求.
参考答案:
解:(Ⅰ)由已知,,,
∴,
由于,
∴可能值为. ………………5分
(Ⅱ)∵.
∴时,
.
.
时
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