湖北省孝感市书院中学高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省孝感市书院中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，其中，则导数的取值范围是                                                       （    ）     A．         B．      C．         D． 参考答案： D 略 2. 已知向量m、n满足||=2，||=3，，则|+|=(     ) A． B．3 C． D． 参考答案： B 考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：由题意可得，|﹣|2+|+|2=22+22=26，从而求得|+|的值． 解答： 解：由，||=2，||=3，∴|﹣|2+|+|2=22+22=26，∴|+|=3， 故选：B． 点评：本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求，属于基础题． 3. 已知数列{an}是等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是                                                                                 （    ）   A．18                          B．19                       C．20                       D．21 参考答案： C 略 4. 函数的反函数（  ） A．   B．  C．    D． 参考答案： C 略 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 由题得：，而，所以而，又，所以c最小，又， 又，所以，故选C 点睛：本题较难，主要是对对数和指数的运算的考察，在比较大小时，先判定各数的符号，然后可以借助中间值0或1进行比较，也可以作差或作商进行比较 6. 已知某几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的表面积为 A.       B．   C.       D． 参考答案： B 7. 直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω是常数且ω＞0）相交，则相邻两交点间的距离是（　　） A．π B． C． D．与a的值有关 参考答案： C 【考点】H1：三角函数的周期性及其求法． 【分析】直线y=a与正切曲线y=tanωx两相邻交点间的距离，便是此正切曲线的一个最小正周期． 【解答】解：因为直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期， ∵y=tanωx的周期是， ∴直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx相交的相邻两点间的距离是． 故选C 8. 某程序框图如图所示，若程序运行后输出S的值是25，则图中判断框①处可填入的语句是 （  ） A． B． C． D． 参考答案： B 9. 某几何体的三视图如下，则它的表面积为 ……………（    ） A.          B. C.         D. 参考答案： A 略 10. 如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入a3，a2，a1，a0的值依次是1，﹣3，3，﹣1，则输出v的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 参考答案： D 【考点】程序框图． 【专题】图表型；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的v，i的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为8． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 x=3，v=0，i=3 满足条件i≥0，a3=1，v=1，i=2 满足条件i≥0，a2=﹣3，v=0，i=1 满足条件i≥0，a1=3，v=3，i=0 满足条件i≥0，a0=﹣1，v=8，i=﹣1 不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为8． 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的v，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜0，x∈R}，则A∩B=　　． 参考答案： ? 【考点】交集及其运算． 【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由集合A中的不等式变形得：x（x﹣2）＞0， 解得：x＜0或x＞2， 即A=（﹣∞，0）∪（2，+∞）； 由集合B中的不等式，根据绝对值的意义得：x∈?， 即B=?， 所以A∩B=?． 故答案为：?． 【点评】本题考查了不等式的解法以及交集的运算问题，熟练掌握交集的定义是解题的关键． 12. 已知3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为　　． 参考答案： 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【分析】先求出基本事件总数n=，再求出3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=，由此能求出男生中有且只有2位男生相邻的概率． 【解答】解：3位男生和3位女生共6位同学站成一排， 基本事件总数n=， 3位男生中有且只有2位男生相邻位包含的基本事件个数m=， ∴男生中有且只有2位男生相邻的概率为p==． 故答案为：． 13. 若tan（π﹣α）=2，则sin2α=　　． 参考答案： 【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式化简已知等式的左边求出tanα的值，再利用同角三角函数间的基本关系得到sinα=2cosα，且sinα与cosα异号，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系求出cos2α与sin2α的值，进而求出sinαcosα的值，最后利用二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值． 【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣=2，即=﹣2＜0， ∴sinα=﹣2cosα， 两边平方得：sin2α=4cos2α， ∵sin2α+cos2α=1， ∴cos2α=，sin2α=， ∴sin2αcos2α=，即sinαcosα=﹣， 则sin2α=2sinαcosα=﹣． 故答案为：﹣ 【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键． 14. 已知函数f（x）=3x﹣1，g（x）=x2﹣2x﹣1，若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则b是取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，0）∪（2，+∞） 【考点】二次函数的性质． 【分析】若存在实数a、b使得f（a）=g（b），则g（b）属于函数f（x）的值域，进而得到答案． 【解答】解：函数f（x）=3x﹣1∈（﹣1，+∞）， 若存在实数a、b使得f（a）=g（b）， 则g（b）=b2﹣2b﹣1＞﹣1， 解得：b∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞） 15. 已知F是抛物线的焦点，点A、B在抛物线上且位于x轴的两侧，若 （其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是______ 参考答案： 3 设直线的方程为，点，，直线与轴的交点为. 联立，可得，根据韦达定理可得. ∵ ∴，即. ∴或（舍），即. ∵点，位于轴的两侧 ∴不妨令点在轴的上方，则. ∵ ∴，当且仅当时取等号. ∴与面积之和的最小值是3. 故答案为3. 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系及基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中通过韦达定理和推出的表达式和运用基本不等式是解答的关键． 16. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=　　． 参考答案：   【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值． 【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足， ∴=?（﹣）=?[+]=?（+） ===， 故答案为：． 　 17. 函数，，对区间(1,2)上任意不等的实数，都有恒成立，则正数的取值范围为          ． 参考答案： (0,1]  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某市为评选“全国卫生城市”，从200名志愿者中随机抽取40名志愿者参加街道卫生监督活动，经过统计这些志愿者的年龄介于25岁和55岁之间，为方便安排任务，将所有志愿者按年龄从小到大分成六组，依次为，如图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第四组的人数为4人. （1）求第五组的频率并估计200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁）的人数； （2）若从年龄位于第四组和第六组的志愿者中随机抽取两名，记他们的年龄分别为，事件，求. 参考答案： （1）75（2） 试题解析：（1）第四组的频率为，所以第五组的频率为，由直方图得后三组频率为 所以200名志愿者中年龄在40岁以上(含40岁）的人数约为人.         （2）第四组的人数为4人，设为；第六组的人数为2人，设为.则有 共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名志愿者在同一组，所以事件包含的基本事件为共 7 种情况，故. 19. 在如图所示的四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，为边长为2的等边三角形，，点F，O分别为AB，BE的中点，OF是异面直线AB和OC的公垂线． （1）证明：平面平面； （2）记OCDE的重心为G，求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值． 参考答案： （1）详见解析；（2）． 【分析】 （1）为的中点，利用等边三角形的性质可得，根据是异面直线与的公垂线，可得．可得平面．进而得出：平面平面． （2）根据，为中点，可得，又是异面直线与的公垂线，可得，可得：平面．建立如图所示的空间直角坐标系．设平面的一个法向量为，可得，由，，的坐标可得的重心．设直线与平面所成角为，则，． 【详解】解：（1）证明：因为为的中点，所以在等边中， 又因为是异面直线和的公垂线，所以 又因为，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面 （2）因为、为中点，所以，又因为是异面直线和的公垂线， 所以，，所以为等腰直角三角形 连接，， 因为，平面，平面平面且平面平面 所以平面 因此，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴建系如图所示： 则，，， 因为四边形为平行四边形，设 因为，所以 所以 设面的一个法向量为 ， 由 令，则，，所以 因为，，， 所以的重心为的坐标为， 设直线与平面所成角为，则 【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形与等腰直角三角形的性质、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是． 已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和． （Ⅰ）写出的所有可能值； （Ⅱ）若生成数列满足的通项公式为，求. 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知，，， ∴，                    由于， ∴可能值为．                              ………………5分 （Ⅱ）∵. ∴时， . . 时