浙江省金华市南苑中学高二数学理联考试题含解析

浙江省金华市南苑中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，在圆O中，若弦AB＝3，弦AC＝5，则·的值（   ） A． －8          B． －1           C． 1             D． 8 参考答案： D 2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（    ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 参考答案： C 【分析】 根据等比数列前项和的性质，得到，，成等比数列，进而可求出结果. 【详解】因为为等比数列的前项和， 所以，，成等比数列， 所以， 即，解得. 故选C 【点睛】本题主要考查等比数列前项和的计算，熟记前项和的性质即可，属于常考题型. 3. 函数的定义域是（   ） A．            B．       C．      D． 参考答案： A 4. 设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】设|PF1|=t，则由∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，推出PQ|=t，|F1Q|=t，且F2为PQ的中点，根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a用t表示，根据等边三角形的高，求出2c用t表示，再由椭圆的离心率公式e=，即可得到答案． 【解答】解：设|PF1|=t， ∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°， ∴|PQ|=t，|F1Q|=t， 由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|， 由对称性可知，PQ垂直于x轴， F2为PQ的中点，|PF2|=， ∴|F1F2|=，即2c=， 由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t， ∴椭圆的离心率为：e===． 故选D． 5. 在图21－6的算法中，如果输入A＝138，B＝22，则输出的结果是(　　) 图21－6 A．2             B．4              C．128            D．0 参考答案： A 6. 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 参考答案： C 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角． 【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形， ∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角， 又A1D=A1B=DB=AB， 则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60° 故选C． 7. 设，则的最小值是（　） A． B． C． D． 参考答案： C 8. 已知且与互相垂直，则的值是（    ） A. 1        B.          C.       D. 参考答案： D 略 9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ） A. 46 B. 48 C. 50 D. 52 参考答案： B 【分析】 由三视图可知，该几何体为四棱锥，棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直，求出底面及四个侧面的面积即可得结果. 【详解】 该几何体是如图所示的一个四棱锥， 棱锥的底面是边长为4的正方形，一条长为3的侧棱与底面垂直， 4个侧面都是直接三角形，由所给数据可得 该几何体表面积为，故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 10. 设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足，则曲线的离心率等于（   ） A．        B． 或 2         C． 2      　 D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，若，则          ． 参考答案： 12. 点(a，b)关于直线x+y=0对称的点的坐标是___________. 参考答案： (-a,-b) 略 13. 已知命题:,;命题:,.则是           命题 参考答案： 真 14. 某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表： 序号i 分组       (睡眠时间) 组中值(Gi) 频数(人数) 频率(Fi)   1 4,5) 4.5 6 0.12 2 5,6) 5.5 10 0.20 3 6,7) 6.5 20 0.40 4 7,8) 7.5 10 0.20 5 8,9 8.5 4 0.08 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________． 参考答案： 6.42 15. 某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为　   　． 参考答案： 18 【考点】系统抽样方法；简单随机抽样． 【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本，抽样的分段间隔为=25，结合从第18组抽取的号码为443，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码． 【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本， ∴系统抽样的分段间隔为=25， 设第一部分随机抽取一个号码为x， 则抽取的第18编号为x+17×25=443，∴x=18． 故答案为18． 16. 函数y=的定义域是　　． 参考答案： [1，+∞） 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】由log2（4x﹣3）≥0，利用对数函数的单调性即可得出． 【解答】解：由log2（4x﹣3）≥0， ∴4x﹣3≥1， 解得x≥1． ∴函数y=的定义域是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 【点评】本题考查了对数函数的单调性、根式函数的定义域，考查了计算能力，属于基础题． 17. 一束光线从点A（－1，1）出发，经轴反射到圆C：上的最短路径的长度是_　　　____。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设、b是满足的实数，其中.    （1）求证：；（2）求证：.   参考答案： 证明：（1）由 只能  （2） 由 由于a、b为正数， ， 即. 19. （本小题满分12分） 已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值． （1）试求动点P的轨迹方程C； （2）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线的方程． 参考答案： 解：（Ⅰ）设点，则依题意有，……3分 整理得由于，所以求得的曲线C的方程为 ………………………………………5分 （Ⅱ）由 解得1=0, 2=分别为M，N的横坐标）.………………………9分 由  …………………………………………………………………11分 所以直线的方程或.……………………………12分 略 20. 为了了解调研高一年级新学生的智力水平，某校按l 0%的比例对700名高一学生按性别分别进行“智力评分”抽样检查，测得“智力评分”的频数分布表如表l，表2． 表1：男生“智力评分”频数分布表 智力评分 [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190） 频数 2 5 14 13 4 2 表2：女生“智力评分”频数分布表 智力评分 [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） 频数 1 7 12 6 3 1 （Ⅰ）求高一的男生人数并完成如图所示的男生的频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校学生“智力评分”在[165，180）之间的概率； （Ⅲ）从样本中“智力评分”在[180，190）的男生中任选2人，求至少有1人“智力评分”在[185，190）之间的概率． 参考答案： 解：（Ⅰ）样本中男生人数是40，由抽样比例是10%可得高一的男生人数是400， 男生的频率分布直方图如图所示            （Ⅱ）由表1和表2知，样本中“智力评分”在[165，180）中的人数是5+14+13+6+3+1=42，样本的容量是70， 所以样本中学生“智力评分”在[165，180）之间的频率， 由f估计学生“智力评分”在[165，180）之间的概率是P= （Ⅲ）样本中智力评分”在[180，185）之间的有4人，设其编号是1，2，3，4，样本中“智力评分”在[185，190）间的男生有2人， 设其编号为5，6，从中任取2人的结果总数是12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种， 至少有1人“智力评分”在[185，190）间的有9种， 因此所求概率是 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图画法即可解答； （Ⅱ）根据频率分布直方图查找到[165，180）之间人找到数，在利用概率公式即可求得； （Ⅲ）一一列举出所有满足条件的基本事件，找到至少有1人“智力评分”在[180，190）的基本事件，利用古典概型的概率公式求得． 解答：解：（Ⅰ）样本中男生人数是40，由抽样比例是10%可得高一的男生人数是400， 男生的频率分布直方图如图所示            （Ⅱ）由表1和表2知，样本中“智力评分”在[165，180）中的人数是5+14+13+6+3+1=42，样本的容量是70， 所以样本中学生“智力评分”在[165，180）之间的频率， 由f估计学生“智力评分”在[165，180）之间的概率是P= （Ⅲ）样本中智力评分”在[180，185）之间的有4人，设其编号是1，2，3，4，样本中“智力评分”在[185，190）间的男生有2人， 设其编号为5，6，从中任取2人的结果总数是12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种， 至少有1人“智力评分”在[185，190）间的有9种， 因此所求概率是 点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率的求法 21. （本小题满分16分）已知等差数列中，，令，数列的前项和为。 （1）求数列的通项公式；（2）求证：； （3）是否存在正整数，且，使得，，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。 参考答案： （1）设数列的公差为，由，。 解得，，∴。（4分） （2）∵，，∴ ∴ ∴。（8分） （3）由（2）知，