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浙江省金华市义乌第十五中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知两点F1(﹣1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【考点】椭圆的定义.
【分析】根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,已知a,c的值,做出b的值,写出椭圆的方程.
【解答】解:∵F1(﹣1,0)、F2(1,0),
∴|F1F2|=2,
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
即|PF1|+|PF2|=4,
∴点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,
∵2a=4,a=2
c=1
∴b2=3,
∴椭圆的方程是
故选C.
2. 已知流程图如图所示,该程序运行后,为使输出的b值为16,则循环体的判断框内①处应填( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
B
【考点】E7:循环结构.
【分析】写出每次循环a,b的取值,根据退出循环的条件即可判定答案.
【解答】解:a=1,b=1
第1次循环:b=2,a=2,继续执行循环;
第2次循环:b=4,a=3,继续执行循环;
第3次循环:b=16,a=4;
所以,为使输出的b值为16,循环体的判断框内应填a≤3,即满足a≤3则执行循环,否则退出循环,输出b=16;
故答案为:B.
3. 已知集合,,,,,那么( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 用秦九韶算法求n 次多项式,当时,求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为( )
A. B.n,2n,n C. 0,2n,n D. 0,n,n
参考答案:
D
5. 对于任意的且,函数的图象必经过点( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 如图是函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数在处有极大值,在处有极小值
B.函数在处有极小值,在处有极大值
C.函数在处有极大值,在处有极小值
D.函数在处有极小值,在处有极大值
参考答案:
A
略
7. 已知是椭圆的两个焦点,是过的弦,则的周长是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 从甲地到乙地一天之中有三次航班,两趟火车,某人利用这两种交通工具在当天从甲地赶往乙地的方法有( )
A.2种 B.3种 C.5种 D.6种
参考答案:
C
略
9. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是且BC边上的高为,则的最大值为 ( )
A. B C 2 D 4
参考答案:
A
略
10. 集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线l:x-y+4=0与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则圆C上各点到l的距离的最小值为___________.
参考答案:
略
12. 正方体的棱长为1,分别为,的中点,则点到平面的距离为 .
参考答案:
取CC′的中点O,连接D′O,OE,OF, D′F,则△D′FO的面积.
点F到平面A′D′E的距离=点F到平面OD′E的距离h,
由等体积可得,即
∴h= .
13. 若关于的方程有四个实数根,则实数的取值范围为 .
参考答案:
略
14. 定义:若数列对任意的正整数n,都有(d为常数),则称为“绝对和数列”,d叫做“绝对公和”,已知“绝对和数列”,“绝对公和”,则其前2010项和的最小值为
参考答案:
-2006
15. 对于实数x,y定义新运算,其中a、b是常数,等式右边是通常的加法和乘法运算,若3*5=15,4*7=28,则1*1=__________
参考答案:
-11
略
16.
参考答案:
17. 如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率为_____.
参考答案:
设右焦点F(c,0),
将直线方程 代入椭圆方程可得 ,
可得
由 可得 ,
即有
化简为 ,
由 ,即有,
由
故答案为 .
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知,用分析法证明:.
参考答案:
要证原式成立,只需证明
即证
即证
而,故只需证明
而此式成立,所以原不等式得证。
19. 如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=4,E是PD的中点.
(1)求证:平面PDC⊥平面PAD;
(2)求点B到平面PCD的距离;
(3)求二面角C-AE-D的余弦值
参考答案:
(2)方法1:过A作AF⊥PD,垂足为F.
在RtPAD中,PA=2,AD=BC=4,PD==2,
AF·PD=PA·AD,∴AF==,
即点B到平面PCD的距离为.
方法2:如图,以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
则依题意可知A(0,0,0),B(0,2,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2),
=(4,0,-2),=(0,-2,0),=(4,0,0),
设面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则
??,
所以面PCD的一个单位法向量为=,
所以|·|=|(4,0,0)·(,0,)|=,则点B到面PCD的距离为.
(3)方法1:过C作CH⊥AE,垂足为H,连接DH,由(1)可知CD⊥面PAD,
?AE⊥DH,
?∠CHD为二面角C-AE-D的平面角.
在Rt△ADH中,DH=AD·sin∠DAH=4×=,
在Rt△CDH中,CH2=CD2+DH2?CH=.
所以cos∠CHD===.
方法2:建立空间直角坐标系同(2)的方法2,则依题意可知A(0,0,0),C(4,2,0),D(4,0,0),P(0,0,2),E(2,0,1),易知面ADE的一个法向量为n1=(0,1,0),
设面ACE的一个法向量为n2=(x,y,1),又=(2,0,1),=(4,2,0),
则??,所以平面ACE的一个法向量为n2=(-,1,1).
设二面角C-AE-D的平面角为θ,
则cosθ=
==.
结合图形可知二面角C-AE-D的余弦值为.
20. (12分) 已知,,,
(1)求及与的夹角
(2)若向量与垂直, 求k.
(3)求
参考答案:
(1)由得
……4分 ……6分
(2)由题意得 得
所以 ……9分
(3)……12分
21. (本小题满分12分)
由下列不等式:
你能得到怎样一个不等式?并加以证明.
参考答案:
根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式,即一般不等式为: (). ............4分
用数学归纳法证明如下:
(1)当时, ,猜想成立;
(2)假设当时猜想成立,即
则当时,
即当时,猜想也成立.
由(1)、(2)得对任意的,不等式都成立. ................12分
22. 某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况,在这两所学校进行了安全知识测试,随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本,成绩大于或等于80分的为优秀,否则为不优秀,统计结果如下图:
甲校 乙校
(1)从乙校成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩恰有一个落在[90,100]内的概率;
(2)由以上数据完成下面列联表,并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。
甲校
乙校
总计
优秀
不优秀
总计
参考数据
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
.解:(1)∵频率分布直方图中矩形面积为1
成绩落在内的人数为
成绩落在内的人数为
从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为:
两名学生的成绩恰有一个落在内的基本事件的个数为:
则这两名学生的成绩恰有一个落在内的概率为:
(2)由已知得列联表如下
甲校
乙校
总计
优秀
11
5
16
不优秀
9
15
24
总计
20
20
40
所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。
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