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湖北省十堰市丹江口实验中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知全集,集合,集合,则下列结论中成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
2. 集合,集合M={a},若,则a的取值范围是
A.[-1,1] B.[1,+) C.(-,-1] D.(-,-1][1,+)
参考答案:
3. 已知直线x+y+4=0被圆x2+y2+2x﹣2y+a=0所截得弦长为2,则实数a的值为( )
A.﹣1 B.﹣4 C.﹣7 D.﹣10
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件根据弦长公式即可求出a的值.
【解答】解:由圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 得,圆的方程为(x+1)2+(y﹣1)2=2﹣a,圆心为(﹣1,1),
∴弦心距d=,
又∵直线x+y+4=0被圆x2+y2+2x﹣2y+a=0所截得弦长为2,
∴由弦长公式可得,,
∴a=﹣7,
故选:C.
【点评】本题考查直线和圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
4. 执行如图所示的程序框图,则输出结果的值为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C【知识点】算法与程序框图L1
由程序框图知:算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,
∵跳出循环的n值为2015,∴输出S==cos+cos+…+cos,
∵cos+cos+cos+cos++
= cos+cos+cos-cos- cos-cos=0
∴S=cos+cosπ=-
【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值,根据条件确定最后一次循环的n值,再利用余弦函数的周期性计算输出S的值.
5. 已知全集,集合,集合,则为 A. B. C. D.
参考答案:
A
略
6. 执行图所示程序图,若输出的结果为3,则可输入的的实数的值个数为( )
1 2 3 4
参考答案:
C
7. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数,则具有性质( )
A.最大值为1,图象关于直线对称 B.在上单调递增,为奇函数
C.在上单调递增,为偶函数 D.周期为,图象关于点对称
参考答案:
B
8. 某加工厂用同种原材料生产出A、B两种产品,分别由此加工厂的甲、乙两个车间来生产,甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元。乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元。甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两个车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
参考答案:
B
9. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则函数的图象的一个对称中心是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 设函数,若时,有,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f(x)=+lnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(2)的值为 .
参考答案:
【考点】导数的运算.
【分析】求函数的导数,即可得到结论.
【解答】解: =﹣1+lnx
∴函数的导数f′(x)=﹣+,
则f′(2)=﹣+=
故答案为:
【点评】本题主要考查导数的计算,比较基础.
12. 给定函数①,②,③, ④,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是 ;
参考答案:
②③
13. 若命题“,”的否定为真命题,
则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
14. 执行如图所示的程序框图,输出的=
参考答案:
8194
略
15. (2008?福建)(x+)9展开式中x3的系数是 _________ .(用数字作答)
参考答案:
84
略
16. 已知变量,满足约束条件。若目标函数(其中)仅在点处取得最大值,则的取值范围为 。
参考答案:
答案:
解析:画出可行域如图所示,其中B(3,0),C(1,1),D(0,1),若目标函数取得最大值,必在B,C,D三点处取得,故有3a>a+1且3a>1,解得a>
17. 如果定义在R上的函数对任意两个不等的实数都有
,则称函数为“函数”给出函数:, 。
以上函数为“函数”的序号为
参考答案:
【知识点】抽象函数及其应用.B9
【答案解析】②解析:∵对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式恒成立,
∴不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数.①函数在定义域上单调递减.不满足条件.
②,y′=3-2cosx+2sinx=3+2(sinx-cox)=3-2sin(x-)>0,函数单调递增,满足条件.
③f(x)=,当x>0时,函数单调递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件.
④,当x>0时,函数单调递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件.故答案为:②
【思路点拨】不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小是满分13分)已知数列
(I)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设项和为Sn.若对一切(M为正整数),求M的最小值.
参考答案:
19. 已知数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn=an,n∈N*.
(1)求a2,a3,并求数列{an}的通项an;
(2)记bn=,Tn是数列{bn}的前n项和,求证:Tn﹣2n<3.
参考答案:
(1)解:n=2时,S2=a2,∵a1=1,∴1+a2=a2,∴a2=3;
n=3时,S3=a3,∴4+a3=a3,∴a3=6;
∵Sn=an,∴n≥2时,Sn﹣1=an﹣1,
两式相减可得an=an﹣an﹣1,
∴
∴an=a1??…?=.
(2)证明:,
∴,
∴.
略
20. 如图(1)在等腰中,、、分别是、、边的中点,现将沿翻折,使得平面平面.(如图(2))
(1)求证:平面;
(2)求证:;
(3)设三棱锥的体积为、多面体的体积为,求的值.
参考答案:
18((本题满分14分)
(1)证明:如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF//AB,
又AB平面DEF,EF平面DEF,∴AB∥平面DEF.………………4分
(2)∵平面平面于
AD⊥CD, 且平面
∴平面,又平面,∴……………………7分
又∵,且
∴平面,又平面
∴.………………………………………………………………9分
(3)由(2)可知平面,所以是三棱锥的高
∴……………………………………11分
又∵、分别是、边的中点,
∴三棱锥的高是三棱锥高的一半
三棱锥的底面积是三棱锥底面积的一半
∴三棱锥的体积…………………………………12分
∴…………………………………13分
∴…………………………………14分
21. (14分)已知点H(-3,0),点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足, .
(Ⅰ)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;
(Ⅱ)过定点作直线交轨迹C于A、B两点,E是D点关于坐标原点O的对称点,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在求出的方程;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解析:(Ⅰ)设,
且, …………………2分
…………………3分
. ………………………………………………4分
∴动点M的轨迹C是以O(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线(除去原点).
…………………………………………5分
(Ⅱ)解法一:(1)当直线垂直于轴时,根据抛物线的对称性,有;
……………6分
(2)当直线与轴不垂直时,依题意,可设直线的方程为,,则A,B两点的坐标满足方程组
消去并整理,得
,
. ……………7分
设直线AE和BE的斜率分别为,则:
=
. …………………9分
,
,
,
.
综合(1)、(2)可知. …………………10分
解法二:依题意,设直线的方程为,,则A,B两点的坐标满足方程组:
消去并整理,得
,
. ……………7分
设直线AE和BE的斜率分别为,则:
=
. …………………9分
,
,
,
. ……………………………………………………10分
(Ⅲ)假设存在满足条件的直线,其方程为,AD的中点为,与AD为直径的圆相交于点F、G,FG的中点为H,则,点的坐标为.
,
,
. …………………………12分
,
令,得
此时,.
∴当,即时,(定值).
∴当时,满足条件的直线存在,其方程为;当时,满足条件的直线不存在.
22. 已知函数.
(1)求的图像在点处的切线方程;
(2)求在区间上的取值范围.
参考答案:
解:(1)证明:,
所以
则.又,所以的图象在点处的切线方程为.
(2)由(1)知.
因为与都是区间上的增函数,所以是上的增函数.
又,所以当时,,即,此时递增;
当时,即,此时递减;
又,,.
所以,.
所以在区间的取值范围为
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