湖北省十堰市丹江口实验中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

湖北省十堰市丹江口实验中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集，集合，集合，则下列结论中成立的是（   ） A． B． C．   D． 参考答案： D 2. 集合，集合M={a}，若，则a的取值范围是 A．[-1，1]    B．[1，+）   C．（-，-1]   D．（-，-1][1，+） 参考答案： 3. 已知直线x+y+4=0被圆x2+y2+2x﹣2y+a=0所截得弦长为2，则实数a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣4 C．﹣7 D．﹣10 参考答案： C 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式即可求出a的值． 【解答】解：由圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 得，圆的方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，圆心为（﹣1，1）， ∴弦心距d=， 又∵直线x+y+4=0被圆x2+y2+2x﹣2y+a=0所截得弦长为2， ∴由弦长公式可得，， ∴a=﹣7， 故选：C． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 4. 执行如图所示的程序框图，则输出结果的值为   （A）     （B）   （C）    （D） 参考答案： C【知识点】算法与程序框图L1 由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值， ∵跳出循环的n值为2015，∴输出S==cos+cos+…+cos， ∵cos+cos+cos+cos++ = cos+cos+cos-cos- cos-cos=0 ∴S=cos+cosπ=- 【思路点拨】算法的功能是求S=cos+cos+…+cos的值，根据条件确定最后一次循环的n值，再利用余弦函数的周期性计算输出S的值． 5. 已知全集，集合，集合，则为 A．        B．        C．        D． 参考答案： A 略 6. 执行图所示程序图，若输出的结果为3，则可输入的的实数的值个数为（  ） 1    2   3      4 参考答案： C 7. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数，则具有性质（   ） A．最大值为1，图象关于直线对称  B．在上单调递增，为奇函数 C．在上单调递增，为偶函数  D．周期为，图象关于点对称 参考答案： B 8. 某加工厂用同种原材料生产出A、B两种产品,分别由此加工厂的甲、乙两个车间来生产，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元。乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元。甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两个车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱                  （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 参考答案： B 9. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（  ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 10. 设函数，若时，有，则实数的取值范围是（   ） A.       B.            C.            D. 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f(x)=+lnx，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（2）的值为　　． 参考答案：   【考点】导数的运算． 【分析】求函数的导数，即可得到结论． 【解答】解： =﹣1+lnx ∴函数的导数f′（x）=﹣+， 则f′（2）=﹣+= 故答案为： 【点评】本题主要考查导数的计算，比较基础． 12. 给定函数①，②，③，   ④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是         ； 参考答案： ②③ 13. 若命题“，”的否定为真命题， 则实数的取值范围是         .   参考答案： 略 14. 执行如图所示的程序框图，输出的=    参考答案： 8194   略 15. （2008?福建）（x+）9展开式中x3的系数是　_________　．（用数字作答） 　 参考答案： 84 略 16. 已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为               。 参考答案： 答案： 解析：画出可行域如图所示，其中B（3，0），C（1，1），D（0，1），若目标函数取得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有3a>a＋1且3a>1，解得a> 17. 如果定义在R上的函数对任意两个不等的实数都有 ，则称函数为“函数”给出函数：， 。 以上函数为“函数”的序号为         参考答案： 【知识点】抽象函数及其应用．B9 【答案解析】②解析：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式恒成立， ∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数在定义域上单调递减．不满足条件． ②，y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cox）=3-2sin（x-）＞0，函数单调递增，满足条件． ③f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件． ④，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故答案为：② 【思路点拨】不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小是满分13分）已知数列 （I）求数列的通项公式； （Ⅱ）设项和为Sn．若对一切（M为正整数），求M的最小值．   参考答案： 19. 已知数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn=an，n∈N*． （1）求a2，a3，并求数列{an}的通项an； （2）记bn=，Tn是数列{bn}的前n项和，求证：Tn﹣2n＜3． 参考答案： （1）解：n=2时，S2=a2，∵a1=1，∴1+a2=a2，∴a2=3； n=3时，S3=a3，∴4+a3=a3，∴a3=6； ∵Sn=an，∴n≥2时，Sn﹣1=an﹣1， 两式相减可得an=an﹣an﹣1， ∴ ∴an=a1??…?=． （2）证明：， ∴， ∴． 略 20. 如图(1)在等腰中，、、分别是、、边的中点，现将沿翻折，使得平面平面.(如图(2)) (1)求证：平面； (2)求证：； (3)设三棱锥的体积为、多面体的体积为，求的值. 参考答案： 18（(本题满分14分) （1）证明：如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB， 又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．………………4分 （2）∵平面平面于 AD⊥CD， 且平面 ∴平面，又平面，∴……………………7分 又∵，且 ∴平面，又平面 ∴．………………………………………………………………9分 （3）由（2）可知平面，所以是三棱锥的高 ∴……………………………………11分 又∵、分别是、边的中点， ∴三棱锥的高是三棱锥高的一半 三棱锥的底面积是三棱锥底面积的一半 ∴三棱锥的体积…………………………………12分 ∴…………………………………13分 ∴…………………………………14分 21. （14分）已知点H（－3，0），点P在轴上，点Q在轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足， . （Ⅰ）当点P在轴上移动时，求点M的轨迹C； （Ⅱ）过定点作直线交轨迹C于A、B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点，求证：； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，是否存在垂直于轴的直线被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若不存在，请说明理由. 参考答案： 解析：（Ⅰ）设, 且,      …………………2分                    …………………3分 .                 ………………………………………………4分 ∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）. 　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分 （Ⅱ）解法一：（1）当直线垂直于轴时，根据抛物线的对称性，有；                                                          ……………6分 （2）当直线与轴不垂直时，依题意，可设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组   消去并整理，得 , .   ……………7分 设直线AE和BE的斜率分别为，则: ＝ .  …………………9分 , , ， . 综合（1）、（2）可知.  …………………10分 解法二：依题意，设直线的方程为，，则A，B两点的坐标满足方程组: 消去并整理，得 , . ……………7分 设直线AE和BE的斜率分别为，则: ＝ .  …………………9分 , , ， .       　……………………………………………………10分 （Ⅲ）假设存在满足条件的直线，其方程为，AD的中点为，与AD为直径的圆相交于点F、G，FG的中点为H，则，点的坐标为. , ,  .                  …………………………12分 , 令，得 此时，. ∴当，即时，（定值）. ∴当时，满足条件的直线存在，其方程为；当时，满足条件的直线不存在.     22. 已知函数. （1）求的图像在点处的切线方程； （2）求在区间上的取值范围. 参考答案： 解：（1）证明：， 所以 则.又，所以的图象在点处的切线方程为. （2）由（1）知. 因为与都是区间上的增函数，所以是上的增函数. 又，所以当时，，即，此时递增； 当时，即，此时递减； 又，，. 所以，. 所以在区间的取值范围为