湖北省孝感市孝昌县王店镇中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省孝感市孝昌县王店镇中学2022年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，则（   ） A.0 B.1009 C.2018 D.2019 参考答案： B 由，所以函数的图像关于点成中心对称图形，所以，所以. 试题立意：本小题考查函数奇偶性、函数值等基础知识；意在考查运算求解能力和转化与化归思想. 2. 设，则 “直线与直线平行”是“”的（   ） A.充分不必要条件     B.必要不充分条件   C.充要条件    D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 3. 已知是复数，，则等于(      ) A .            　 B.      　　   C.      　        D. 参考答案： A 4. 已知数列的前项和，则数列的通项公式为（   ） A.                            B.      C.                      D. 参考答案： C 略 5. 在复平面内，复数满足，则对应的点位于 （    ） A．第一象限         B．第二象限       C．第三象限       D．第四象限 参考答案： B 6. 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 （A）            （B）            （C）          （D） 参考答案： D 六棱柱的对角线长为：，球的体积为：V＝＝ 7. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. B. C. D. 参考答案： C 8. 设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是       （　  ） 　　A．20　                   B．19                       C．18                      D．16 参考答案： 答案：C 9. 已知点，动点的坐标满足不等式组，设z为向量在向量方向上的投影，则z的取值范围为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 在向量方向上的投影，利用线性规划可求其取值范围. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图： 则， ， 则在向量方向上的投影为， 设，则， 平移直线，由图象知当直线经过点时直线的截距最小， 此时， 当直线经过时，直线的截距最大， 由，得，即，此时． 即，则，即， 即的取值范围是， 故选：A． 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考考虑二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率． 10. 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)   参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 复数,则为______________; 参考答案： 12. 已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，且a1=2，an+1=3Sn+2(n∈N*)，则a5=　  　． 参考答案： 512 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】根据来推知数列{an}的通项公式，进而求得a5=512． 【解答】解：∵an+1=3Sn+2 ∴an=3Sn﹣1+2（n≥2）， 两式相减可得an+1﹣an=3an， ∴=4（n≥2）， 由a1=2， a2=3a1+2=8， 由等比数列的通项公式可得：an=2?4n﹣1． 则a5=2?44=512． 故答案是：512． 　 13. 一个几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，则该几何体外接球的表面积为　　． 参考答案： 14π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何． 【分析】由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1，我们可以把它看成其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球． 【解答】解：由正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，且面积分别为，3，1， 故其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球， 则2R==， ∴外接球的表面积S=4πR2=14π， 故答案为：14π． 【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积，其中利用补足法，将该几何体的外接球，转化为其外接球即为长宽高分别为1，2，3的长方体的外接球是解答的关键． 14. 在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________. 参考答案： 略 15. 参考答案： 16. 的展开式中的系数为12，则实数的值为_____ 参考答案： 1    略 17. 若随机变量，且，则=　       ． 参考答案： ． ∵随机变量，∴正态曲线关于对称， ∵，∴． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图（1）在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图（2）A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为θ，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别为α，β，γ，ED＝a． （1）求BD间的距离及CD间的距离； （2）求在A处攀岩者距地面的距离h． 参考答案： 解：(1)根据题意得∠CED＝γ，∠BED＝β，∠AED＝α．在直角三角形CED中， tanγ＝，CD＝atanγ，在直角三角形BED中，tanβ＝，BD＝atanβ． (2)易得AE＝，BE＝，在△ABE中，∠AEB＝α－β，∠EAB＝π－(α＋θ)，正弦定理＝，代入整理：h＝． 19. 已知函数.(a是常数，且) (I) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当在处取得极值时，若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围. （Ⅲ）求证:当时 参考答案： 解:(I)由已知比函数的定义域为, 由得， 由,得 所以函数的减区间为，增区间为. (II)由题意，得, ∴由(I)知, ∴,即, ∴, 设 则 当变化时，的变化情况如下表: 1 2 0 - 0 +   ↘ ↗ ∵方程在上恰有两个不相等的实数根， ∴，∴ ∴即 （Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当时，即， ∴当时，， 令时， 即 ∴.   20. （本小题满分12分）                                       甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知一局中甲胜乙的概率为0．6，现实行三局两胜制，假设各局比赛结果相互独立-                                       （1）求甲获胜的概率；                                       （2）用x表示甲获胜的局数，求x的分布列和数学期望E（X）． 参考答案： 略 21. 为了了解某校毕业班数学考试情况，抽取了若干名学生的数学成绩，将所得的数据经过整理后，画出频率分布直方图（如图所示）。已知从左到右第一组的频率是0.03，第二组的频率是0.06，第四组的频率是0.12，第五组的频率是0.10，第六组的频率是0.27，且第四组的频数是12，则 （1）所抽取的学生人数是多少？ （2）那些组出现的学生人数一样多？出现人数最多的组有多少人？ （3）若分数在85分以上（含85分）的为优秀，试估计数学成绩的优秀率是多少？ 参考答案： 解：（1）因为第四组的频数为12，频率为0.12，则， 即抽取的学生共有100人                                      -------3分 （2）从左到右看频率分布直方图，第一组与第九组出现的学生人数一样多， 第二组和第三组出现的学生人数一样多， 学生人数最多的是第六小组，有     -----4分 （3）第一组的人数是， 第二、三组的人数都是， 第四组的人数是， 第五组的人数是 所以在85分以下的人数约为            ------8分 则在85分以上人数约为，优秀率约为%%  -----11分 由此估计该学校的数学成绩的优秀率约为%                        -----12 略 22. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F （1）求证：AB∥EF； （2）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P﹣AEF的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）由底面ABCD是菱形，得AB∥CD，利用线面平行的判定可得AB∥面PCD，再由线面平行的性质可得AB∥EF； （2）由PA=PD=AD=2，可得△PAD为等边三角形，求出AD边上的高h=，再由平面PAD⊥平面ABCD，可得P到平面ABCD的距离为．然后利用等积法求得三棱锥P﹣AEF的体积． 【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD， 又∵AB?面PCD，CD?面PCD， ∴AB∥面PCD， 又∵A、B、E、F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF， ∴AB∥EF； （2）解：∵PA=PD=AD=2，∴△PAD为等边三角形， ∴AD边上的高h=， 又平面PAD⊥平面ABCD，∴P到平面ABCD的距离为． 又ABCD是菱形，且∠ABC=120°． ∴．