湖北省宜昌市茶园寺中学2023年高三数学文联考试卷含解析

湖北省宜昌市茶园寺中学2023年高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 空气质量指数AOI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AOI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（    ） A. 该地区在该月2日空气质量最好 B. 该地区在该月24日空气质量最差 C. 该地区从该月7日到12日AOI持续增大 D. 该地区的空气质量指数AOI与这段日期成负相关 参考答案： D 【分析】 利用折线图对每一个选项逐一判断得解. 【详解】对于选项A, 由于2日的空气质量指数AOI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确； 对于选项B, 由于24日的空气质量指数AOI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确； 对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日AOI持续增大，所以该选项正确； 对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数AOI与这段日期成正相关，所以该选项错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.   2. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（　　） A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为=，代入几何概型公式，即可得到答案． 【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为=，当输出结果为521时，i=1001，m=521，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.126， 故选B． 3. 设函数其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.3]＝－2，[1.3]＝1，则函数不同零点的个数为() A．2      B．3        C．4        D．5 参考答案： B 略 4. 已知直线平面，直线∥平面，则“”是“”的     (A)充分不必要条件                    (B)必要不充分条件     (C)充要条件                          (D)既非充分也非必要条件 参考答案：                     A 略 5. 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（） 参考答案： D 6. 已知等差数列{an}满足，则数列{an}中一定为零的项是（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 将已知条件转化为的形式，由此判断出一定为零的项. 【详解】设公差为，由得，∴， 故选：A. 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 7. 已知等差数列{an}满足4a3＝3a2，则{an}中一定为零的项是（　　  ） A. a6 B. a7 C. a8 D. a9 参考答案： A 【分析】 利用等差数列的通项公式即可得到结果. 【详解】由4a3＝3a2得，4(a1+2d)=3(a1+d)，解得：a1+5d=0，所以，a6=a1+5d=0. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，属基础题. 8. 已知函数的图像如图，则下列结论正确的是（     ） A．，        B. ，   C. ，        D. ， 参考答案： B 9. 已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比q是小于1的正有理数。若，且是正整数，则q的值可以是（      ）   A.           B.-          C.-           D. 参考答案： D 10. 向量，，则向量在向量方向上的投影为（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据投影公式，代值计算即可 【解答】解：由定义，向量在向量方向上的投影为=， 故选：A． 【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是                        ． 参考答案： 12. 已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为    　 　▲　    ．   参考答案： 3 由题意得在R上恒成立，则， ， 令， ， （当且仅当，即时取“”）. 故答案为：3.   13. 数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________． 参考答案： 略 14. 某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是            人. 参考答案： 760 15. 是定义在D上的函数，若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是k型函数．给出下列说法： ①不可能是k型函数； ②若函数是1型函数，则的最大值为； ③若函数是3型函数，则； 其中正确的说法为         ．（填入所有正确说法的序号） 参考答案： ②③ 16. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为        .   参考答案： －4 作出曲线y=与y=2所表示的区域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（－1，2）时，z取到最小值，此时最小值 为－4. [考点与方法]本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2x－y的最小值转化为求y=2x－z所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。 17. 设函数f（x）= ， ①若a=1，则f（x）的最小值为　   　； ②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　   ． 参考答案： ①﹣1 ②≤a＜1，或a≥2   【考点】函数的零点；分段函数的应用． 【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值； ②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围． 【解答】解：①当a=1时，f（x）= ， 当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1， 当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1， 当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1， ②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点， 所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2， 而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以 ≤a＜1， 若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点， 则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点， 当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去）， 当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）梯形中，，，，如图①；现将其沿折成如图②的几何体，使得. （Ⅰ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅱ）求二面角的余弦值.                     参考答案： 解：（Ⅰ）由题意，， .在中，∵，∴， ∴两两垂直，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图）. 设平面的法向量为，，， ，取 设直线与平面成的角为， 则 直线与平面成的角为   （Ⅱ）设平面的法向量为，   令                                   由（Ⅰ）知平面的法向量为令.                                           由图知二面角为锐角， ∴二面角大小的余弦值为.     19. :坐标系与参数方程     在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标 方程为．圆O的参数方程为，（为参数，） (I)求圆心的一个极坐标； (Ⅱ)当为何值时，圆O上的点到直线的最大距离为3． 参考答案：                          ………………5分     ……10分                  略 20. 已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点． （Ⅰ）求证：EF∥面ABC； （Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD； （Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积． 参考答案： 【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC； （Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD； （Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积． 方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为VA﹣BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG， ∵F，G分别是AD，AC的中点 ∴FG∥CD，且FG=DC=1． ∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等 ∴EF∥BG．      EF?面ABC，BG?面ABC ∴EF∥面ABC…（4分） （Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG ∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC， ∴BG⊥面ADC．                          …（6分） ∵EF∥BG ∴EF⊥面ADC ∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分） 解：（Ⅲ） 方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC． ．…（12分） 方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC， ∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE， ∴AO为VA﹣BCDE的高，，∴． 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直